Der Abakus

Der Abakus ist im abendländischen Kulturraum so gut wie unbekannt. Oft wird er mit dem Rechenschieber verwechselt oder als Kinderspielzeug belächelt. Demgegenüber wird er in China, Japan, Rußland und einigen angrenzenden Ländern noch täglich gebraucht. Das ist um so erstaunlicher, als seine Rechenmöglichkeiten auf den ersten Blick von einem kleinen Taschenrechner, wie man ihn bei uns oft als Werbegeschenk oder Billigartikel bekommt, sowohl was Geschwindigkeit als auch was Vielfalt betrifft, übertroffen zu werden scheinen.

Diese Arbeit soll über die oft unterschätzten Fähigkeiten des Abakus aufklären, seine Geschichte kurz erläutern und den Leser in den Umgang mit ihm einweisen. Eine komplette Einweisung in alle mit dem A. durchführbaren Rechenmethoden würde den ohnehin schon strapazierten Rahmen bei weitem sprengen, zumal es für ein und dieselbe Operation häufig mehrere Wege gibt, diese durchzuführen. Der Autor hat sich deshalb auf die vier Grundrechenarten sowie auf das Auflösen von Quadratwurzeln beschränkt. Außerdem scheint adäquate Literatur für den deutschen Sprachraum nur unter extremen Schwierigkeiten zu finden zu sein (siehe Literaturverzeichnis). Die Recherche beschränkte sich hauptsächlich auf englischsprachige Literatur, teilweise wurde eigene Erfahrung (soweit überhaupt vorhanden) in die Arbeit eingebracht.

1. Die Geschichte des Abakus

Unter dem Abakus verstehen wir heute den in östlichen und fernöstlichen Ländern noch weit verbreiteten Holzrahmen mit den darin senkrecht eingebauten Stäben, an denen durchbohrte Kugeln auf- und abgeschoben werden können. Obwohl heutzutage unterschiedliche Formen des A. existieren, ist das Prinzip immer das gleiche. So existiert in Rußland ein Kugelbrett, stschoty genannt, bei dem an jedem Stab zehn Kugeln befestigt sind, von denen die jeweils fünften und sechsten farblich markiert sind, was die Übersichtlichkeit erhöht (siehe Abb. 1). In China heißt die dort übliche Variante suan pan (Rechenbrett), in Japan soroban. Suan pan und soroban unterscheiden sich vom stschoty durch eine zusätzliche horizontale Leiste, die die Kugeln auf den Stäben trennt, und durch die Zahl der Kugeln auf jedem Stab: Bei der chinesischen Variante befinden sich an jedem Stab sieben Kugeln, wobei die horiz. Leiste die fünfte von der sechsten trennt (s. Abb. 2). Die unteren fünf Kugeln stehen jeweils für einen, die oberen beiden für fünf Zähler. In China heißt der untere Bereich mit den fünf Kugeln "Erde", der mit den zwei Kugeln "Himmel". Der japanische soroban benötigt nur noch fünf Kugeln pro Stab, wobei die Leiste die vierte von der fünften trennt. Auch hier steht jede der vier Kugeln für einen, die einzelne oberhalb der Leiste für fünf Zähler (s. Abb. 3).

1.1 Die Ursprünge

Da der Abakus ein sehr altes Gerät ist, das wohl schon seit Jahrtausenden in unterschiedlichen Formen in Gebrauch ist, fällt es schwer, seinen genauen Ursprung festzulegen. Das Wort Abakus leitet sich wahrscheinlich vom phönizischen abak her. Es bedeutet: Auf eine Fläche gestreuter Sand zum Schreiben. (1)
Einigen Quellen zufolge entstand der Abakus auf Madagaskar, wo man zum Abzählen der Soldaten jeden einzeln durch einen schmalen Durchgang treten ließ und dabei jedesmal einen Kieselstein in eine Furche auf dem Boden legte. Nach jeweils zehn Soldaten wurden die zehn Kieselsteine durch einen zusätzlichen in einer zweiten Furche, der "Zehnerfurche", ersetzt. Nach 100 Soldaten wurden die zehn Kieselsteine in der Zehnerfurche durch einen in einer dritten, der "Hunderterfurche", ausgetauscht. Andere Völker hätten dann die Furchen im Boden durch Stäbchen und die Kieselsteine durch Kugeln mit Löchern ersetzt. (2)
Anderen Quellen zufolge sei der A. in Zentralasien, irgendwo in einem Landstrich in der früheren Sowjetunion entstanden. Von dort aus soll er in die angrenzenden Länder verbreitet worden sein. In Europa sei er durch die dort vorherrschende Vorliebe für Papier, Feder und Tinte übergangen worden, in China jedoch wäre er bereitwillig akzeptiert worden. (3)
Die römischen Rechenmeister (calculatores) verwendeten Taschenabaki, die aus einer Metallplatte mit einer bestimmten Anzahl von parallel angeordneten Schlitzen und darin verschiebbaren Knöpfen (den sog. calculi) bestanden. Diese Art Abakus scheint aber noch vor oder mit dem Untergang des röm. Reiches verschwunden zu sein. Die Völker des abendländischen Mittelalters haben jedenfalls die Rechentafel dem Abakus vorgezogen, die zwar Addition und Subtraktion erlaubte, aber nur bedingt zur Multiplikation und Division benutzt werden konnte. (4)

1.2 Das Mittelalter

Als die Europäer im Mittelalter durch die Kreuzzüge (etwa zwischen 1095 und 1270 n. Chr.) erste Kontakte mit der islamischen Kultur hatten, erlernten einige auch das Schreiben von Zahlen in den Sand. So gelangten die arabischen Ziffern mit den Methoden des schriftlichen Rechnens mit ihnen ins Abendland. Daraufhin kam es zu einem Streit zwischen den Anhängern der Methoden des Rechenbretts (=Rechentafel, damals übrigens auch abacus genannt, eine Tafel, auf der Rechenmarken verschoben wurden), und denen, die die arabische Methode des Schreibens der Zahlen bevorzugten. Jeder war davon überzeugt, seine Methode wäre die bessere. Die Kirche, die damals einen enormen Einfluß auf Philosophie und Wissenschaften hatte, und deren Ziel es eigentlich war, durch die Kreuzzüge die eigene Kultur zu verbreiten und nicht umgekehrt, sah im übernehmen der arabischen Rechenmethoden eine Bedrohung der eigenen Autorität und erklärte die arabische Methode kurzerhand für Teufelszeug. Sie stellte sich damit klar auf die Seite der abacisten, konnte aber den Siegeszug der arabischen Methode nicht verhindern.
Der Gebrauch des abacus blieb aber noch bis ins 18. Jahrhundert üblich. Die britischen Finanzbeamten zum Beispiel benutzten nur das Rechenbrett, das dort den Beinamen exchequer (Schachbrett) trug, für ihre fiskalischen Berechnungen. Daher auch die Bezeichnung des brit. Finanzministers: Chancellor of the Exchequer. Erst die franz. Revolution (ab 1789) verbot den Gebrauch des abacus in Schulen und Verwaltungen, offiziell aus dem Grund, daß man mit dem arabischen System unabhängig vom Vorhandensein eines abacus sei. *
So wurde die Weiterentwicklung jeder Form des Abakus in Europa verhindert, und man ging zum arabischen Zahlensystem (und seinen Zahlen) über. (6)

1.3 Die jüngere Geschichte

Durch diese Entwicklung in Europa ist klar, daß die jüngere Geschichte des Abakus nur in China oder Japan stattfinden kann. In China fand aber eine der europäischen entgegengesetzte Entwicklung statt: Dort ging man von einem schriftlichen System über zum Rechnen mit dem Abakus (hier suan pan [Rechenbrett] genannt). Dort arbeitete man vor der Einführung des A. mit einem umständlichen System aus vertikalen und horizontalen Strichen, das wohl eine Abbildung des Rechnens mit Rechenblöcken war. Das schriftliche System wurde etwa zur Zeit der Ming-Dynastie (1368-1646) (7) vom effektiveren suan pan abgelöst.
Der japanische Abakus, soroban genannt, ist wahrscheinlich eine Weiterentwicklung des chinesischen A. (Das japanische Wort soroban entstand vermutlich aus dem chinesischen suan pan, soo-pan im südlichen Dialekt oder sur-pan in der Mandschurei.) Der A. ist jedoch bis zum 17. Jh. nicht gemeinhin angewandt worden. Bis zur pol. Revolution 1868 wurden in Japan sowohl der chinesische A. mit zwei Fünf- und fünf Ein-Zähler-Kugeln als auch der ältere japanische mit einer Fünf- und fünf Ein-Zähler-Kugeln pro Stab benutzt. Nach der Revolution verschwand der chin. A. völlig aus Japan. Seit etwa 1940 hat auch der effektivere, neue japanische soroban mit einer Fünf- und vier Ein-Zähler-Kugeln den älteren japanischen Abakus ersetzt. (8)
Der Abakus findet in den jeweiligen Ländern bis heute Verwendung.

Es stellt sich auch die Frage, ob man nicht auch seinem Erzfeind, der kath. Kirche, eins auswischen wollte. Der Hauptgrund dürften aber die zu dieser Zeit benutzten vielen verschiedene Zahlensysteme (duodezimal, binär, sexagesimal) gewesen sein. Als Beispiel sei die Unterteilung eines Tages in 12 Stunden und die einer Stunde in 60 Minuten genannt. Der abacus ist aber von einem festen Zahlensystem abhängig (K1) und war dadurch der arabischen Methode unterlegen. (5)

2. Die Darstellung von Zahlen mit dem Abakus

Im Folgenden wird näher auf die Darstellung von Zahlen auf dem suan pan eingegangen, da dieser durch seinen Aufbau Vorzüge aufweist, auf die später noch eingegangen werden soll, und die dem Neuling den Einstieg wesentlich erleichtern dürften. Außerdem lassen sich die mit ihm gewonnenen Kenntnisse wohl am einfachsten sowohl auf dem stschoty als auch auf dem soroban anwenden.

2.1 Die Darstellung von ganzen Zahlen

Um mit dem Abakus rechnen zu können, muß man zuerst wissen, wie der Abakus Zahlen darstellt. Die Darstellung von Zahlen auf dem Abakus ähnelt unserer herkömmlichen arabischen Schreibweise, nämlich von der höchsten Zehnerpotenz (Zehntausender, Tausender, o.ä.; 10 hoch n) ganz links bis zur Einerstelle (10 hoch 0) ganz rechts. Dabei steht jede Kugelspalte für eine Stelle. Wollte man also die 1 darstellen, sähe das so aus:

Die Kugelspalte ganz rechts entspricht also unserer Einerstelle, alle Spalten links daneben entsprechen einer um eins höheren Zehnerpotenz (v.r.n.l.: 10 hoch 1, 10 hoch 2, 10 hoch 3, ...). Mit dieser Information und dem Wissen, daß die Kugeln über der Querstrebe fünf Zähler wert sind, kann man jetzt alle natürlichen Zahlen auf dem Abakus darstellen (dabei werden die Kugeln im unteren Bereich mit dem Daumen, die im oberen mit dem Zeigefinger verschoben [Ermöglicht auch gleichzeitiges Verschieben oben und unten! ]):

Die Zahlen werden also einfach durch Addition gebildet:

Natürlich wird der Anwender die Zahlen direkt der Reihe nach ablesen, und nicht zu dieser umständlichen Rechenmethode mit Zehnerpotenzen greifen. Das Beispiel sei hier nur zur Verdeutlichung genannt. Nun stellt sich dem erstmaligen Anwender des suan pan die Frage, wozu auf jedem Stab Kugeln im Wert von insgesamt 15 Zählern angebracht sind (zwei mal fünf-wertig im "Himmel" plus insgesamt fünf einfache Zähler in der "Erde", also unterhalb der Leiste), wenn man doch pro Spalte lediglich Ziffern von eins bis neun darstellen muß (siehe soroban), also neun Zähler pro Spalte ausreichend wären. Die Zahl zehn ließe sich also auf mehrere Arten darstellen:

Dieselbe Frage stellt sich auch für die Zahl fünf, die ja in jeder Spalte, sowohl im "Himmel" (doppelt), als auch in der "Erde" vorhanden und damit auch überbesetzt ist. Diese "Überbesetzung" der Spalten scheint auf den ersten Blick unnötig, wird sich aber beim späteren Rechnen als sehr praktisch erweisen, da so kurzfristig Überträge gewissermaßen "zwischengespeichert" werden können, was dem Anwender sicher Erleichterung bietet. (Der Benutzer des soroban hat diese Möglichkeit nicht, er muß alle Überträge im Kopf behalten). Der Nachteil ist, daß die größere Kugelzahl zu einer vergrößerten Anzahl von Verschiebeoperationen führt, was sich beim professionellen Anwender in einer (wenn auch minimalen) Verlängerung der Rechenzeit auswirkt. (10)

2.2 Die Darstellung von Dezimalbrüchen

Dezimalbrüche sind auf dem Abakus "anwenderabhängig", d.h. daß nur der momentane Benutzer weiß, wo sich das Komma befindet, da der Abakus kein Komma darstellen kann. Der Anwender muß also bei Rechenoperationen ständig im Kopf behalten, wo er das Komma gesetzt hat. Bei Addition oder Subtraktion stellt das normalerweise kein Problem dar, da sich die Kommastelle hier nicht verschiebt. Schwierig wird es bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen oder bei der Division, wenn als Quotient ein Dezimalbruch entsteht. (11)

3. Rechnen mit dem Abakus

Die Rechenmöglichkeiten auf dem Abakus sind vielfältiger, als man es auf den ersten Blick von einem so einfachen Gerät erwarten würde. Sie reichen von einfacher Addition und Subtraktion über Multiplikation und Division bis zum Ziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln. Für jede Rechenoperation gibt es mehrere Wege, diese auf dem Abakus durchzuführen (K2). Diese unterscheiden sich jedoch hauptsächlich durch den Abstraktionsgrad und den Zeitaufwand. Zeitaufwand heißt auf dem Abakus: Entfernung zwischen den Spalten (Weg, den der Finger zurücklegen muß) und Zahl der Verschiebeoperationen. Diese Jagd nach Sekundenbruchteilen scheint überflüssig, erfahrenere Anwender legen aber sehr viel Wert auf schnelle und effiziente Methoden. Eine eingesparte Bewegung muß statt dessen im Kopf durchgeführt oder sich gemerkt werden. Da schnellere Methoden die Operation lediglich vom Abakus in den Kopf des Benutzers verlagern, sind sie meistens anspruchsvoller und verlangen mehr Erfahrung und Konzentration vom jeweiligen Anwender.

3.1 Die Addition

Die Addition ist die einfachste Rechenoperation auf dem Abakus. Die Zahlen werden einfach nacheinander in den Abakus eingegeben, das Ergebnis kann direkt abgelesen werden. Um zum Beispiel die Zahlen 7 und 5 zu addieren, sind folgende Schritte notwendig:
Zuerst wird die Zahl sieben in den Abakus eingegeben. Die sieben wird auf dem A. als 5 + 2 dargestellt. Es müssen also eine der fünf-wertigen Kugeln und zwei der ein-wertigen Kugeln in der Einerspalte zur Mittelstrebe hin verschoben werden. Um nun die Zahl 5 zu addieren, muß nun noch eine fünf-wertige Kugel zur Mittelstrebe hin verschoben werden.

Nun ergibt sich ein Übertrag, erkennbar daran, daß sich zwei fünf-wertige Kugeln an der Mittelstrebe befinden. Diese zwei Kugeln können durch eine in der Spalte links daneben ersetzt werden, ohne daß sich etwas am Ergebnis ändert, da beide Male die Zahl zehn dargestellt wird. Die zwei Kugeln werden also wieder nach oben verschoben, für sie wird eine ein-wertige in der Zehnerspalte an die Mittelstrebe bewegt. Das Ergebnis (12) läßt sich nun direkt vom Abakus ablesen.

Nach diesem Muster funktioniert jede Addition. In besonderen Fällen benötigt man jedoch eine Hilfskonstruktion, die anhand des folgenden Beispiels erläutert werden soll.
Gesucht sei die Lösung der Aufgabe 19 + 28 = ?. Zuerst wird wieder die 19 in den Abakus eingegeben, d.h. eine ein-wertige Kugel in der Zehnerspalte, eine fünf-wertige und vier ein-wertige in der Einerspalte werden zum Mittelbalken bewegt. Will man jetzt dazu die 28 addieren, fängt man (wie übrigens immer,) rechts an. Da man in der Einerspalte jetzt aber keine 8 mehr dazuaddieren kann, weil die Kugeln schon für die 9 der 19 gebraucht werden, wird zur obengenannten Hilfskonstruktion gegriffen. Da "8 = 10 - 2" kann man statt 8 zu 19 zu addieren genausogut 10 dazuaddieren, vorausgesetzt man zieht hinterher wieder 2 ab. Genau das wird hier getan.

Um die 2 von der jetzt entstandenen 29 wieder abzuziehen, werden zwei ein-wertige Kugeln in der Einerspalte wieder vom Mittelbalken nach unten geschoben. Dadurch ist nun die 8 der 28 zur 19 addiert worden. Jetzt muß nur noch die 20 zur inzwischen entstandenen 27 addiert werden. Das geschieht durch das Verschieben zweier ein-wertiger Kugeln in der Zehnerspalte hin zum Mittelbalken.

Als Ergebnis der Rechnung 19 + 28 kann man nun die 47 ablesen. Die Addition von Dezimalbrüchen läuft genau wie oben ab. Zum Beispiel die Rechnung 208,37 + 94,752 : Zuerst wird wieder die erste Zahl in den Abakus eingegeben. Da der zweite Summand eine Nachkommastelle mehr hat als der erste, muß aber als erste Zahl 208,370 eingegeben werden. Dabei ist die Stelle, an der sich das Komma befindet, im Kopf zu behalten. Nun wird der zweite Summand von rechts nach links dazuaddiert.

Bei der Addition der 0,7 tritt wieder das obengenannte Problem auf, man greift also darauf zurück, daß 7 = 10 - 3. Ebenso bei der Addition der 4. Hier gilt: 4 = 5 - 1, also 5 dazuaddieren, 1 wieder abziehen.

Als Summe entsteht, nachdem das Komma wieder eingefügt wurde, korrekt 303,122.
Existieren mehrere Summanden, werden diese in Wiederholung der oben genannten Methode einfach nacheinander aufaddiert. (12)

3.2 Die Subtraktion

Die Subtraktion stellt für jemanden, der die Addition auf dem A. beherrscht, kein Problem dar. Die Vorgehensweise wird nur umgekehrt. Aus Platzgründen soll hier nur auf einfache Subtraktionsprobleme eingegangen werden, bei denen der Minuend größer als der Subtrahend ist, also keine negativen Ergebnisse entstehen können. (K3)
Als erstes Beispiel sei 26 von 43 abzuziehen. Dazu wird zuerst die 43 in den A. eingegeben. Um die sechs von der drei abzuziehen (es wird wieder von rechts angefangen), muß man wieder zu einer Hilfskonstuktion greifen. Da 6 = 10 - 4 ist die Subtraktion von 6 dasselbe wie die Subtraktion von 10 mit einer darauffolgenden Addition von 4. Die vier läßt sich in diesem Fall aber auch nicht einfach addieren, da in der Einerspalte keine vier Kugeln zum Addieren übrig sind. Dieses Problem läßt sich wie die oben angeführten durch die Addition von 5 und der Subtraktion einer 1 lösen.

Mit Hilfe dieses Umwegs und einer darauffolgenden Subtraktion der übrigen 20 (zwei Kugeln in der Zehnerspalte vom Mittelbalken nach unten bewegen) kommt man auf 17, das korrekte Ergebnis.
Im zweiten Beispiel soll 5 von 11.000 abgezogen werden. Hierbei besteht das Problem im Nichtvorhandensein einer Zahl in der Einerspalte, von der die 5 subtrahiert werden kann. Hier hilft aber der suan pan mit seiner "Überbesetzung" der Spalten. Die Eins in der Tausender-Spalte läßt sich auch durch eine Zehn in der Hunderter-Spalte ausdrücken. Wenn man nun in der Hunderter-Spalte eine

der Kugeln abzieht, dafür aber in der Zehner-Spalte zehn Kugeln setzt, dort nun wieder eine Kugel abzieht und dafür zehn in der Einer-Spalte setzt, hat man, ohne etwas am Minuenden zu verändern, gewissermaßen Kugeln in die Einer-Spalte "transportiert". Nun stellt die Subtraktion von 5 von den dort vorhandenen 10 kein Problem mehr dar.
Bei Dezimalbrüchen gilt: Die Kommastelle ist wieder im Kopf zu behalten, ansonsten gibt es keine Unterschiede zur oben ausgeführten Methode. (13)

3.3 Die Multiplikation

Voraussetzung zur Multiplikation ist, analog zu unserer schriftlichen Methode, das kleine Einmaleins.

3.3.1 Standardmultiplikation auf dem Abakus

Die Multiplikation beginnt damit, daß der Multiplikand ganz links, und dann, mit einer Strebe Abstand, der Multiplikator in den Abakus eingegeben werden. Das Produkt entsteht dann ganz rechts. Gerechnet wird, wie bisher auch, von rechts nach links.
Als erstes Beispiel sei 73 mit 4 zu multiplizieren. (K4) Dazu wird in der ersten Spalte eine 7, in der zweiten eine 3 und in der vierten eine 4 gesetzt. Die dritte Spalte wird zur Trennung freigehalten.

Zuerst wird nun die 3 der 73 mit der 4 multipliziert, es entsteht die 12, die ganz rechts eingetragen wird. Nun wird die 7 der 73 mit der 4 multipliziert, es entstehen 28: Diese werden eine Spalte weiter links beginnend eingetragen, da man sich ja auch beim Multiplikand um eine Stelle nach links bewegt hat.

Sie werden zur dort bereits vorhandenen 1 der 12 addiert, in den beiden vorletzten Spalten entstehen also 29. Damit lautet das Gesamtergebnis mathematisch korrekt 292.
Als schwierigeres Beispiel sei nun die Aufgabe gestellt, 185 mit 96 zu multiplizieren. Die Vorgehensweise bleibt identisch zu obengenanntem Beispiel: Zuerst wird die 185 ganz links, dann die 96 mit einer Spalte Trennung eingegeben.

Nun wird die 5 der 185 mit der 6 der 96 multipliziert, ergibt 30, die ganz rechts eingegeben wird. Im Folgenden wird ebenso verfahren: Die 8 wird mit der 6 multipliziert, die entstehende 48 wird eine Spalte weiter links addiert. Aus Kugelmangel muß hier wieder 50 addiert und 2 abgezogen werden. Gleichermaßen wird die 1 mit der 6 multipliziert, die entstehenden 6 werden zur bereits vorhandenen 5 der vorher entstandenen 48 (50 - 2) addiert. Die so ablesbaren 1.110 sind das Ergebnis der Multiplikation 185 x 6.

Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird jetzt die bereits behandelte 6 der 96 wieder entfernt, dadurch gewinnt man Platz für das Ergebnis und stellt sicher, daß die 6 nicht versehentlich noch irgendwo in die Rechnung "hineinrutscht" und zu einem falschen Resultat führt.

Mit der verbleibenden 9 der 96 wird nun ebenso verfahren wie vorher, das Produkt wird aber eine Spalte weiter links eingegeben. Also: 5 x 9 ergibt 45, 8 x 9 ergibt 72, 1 x 9 gibt 9.

Für die Addition der letzten 9 zu der 7 der 72 wird wieder 10 addiert und 1 abgezogen. Jetzt wird deutlich, warum es vorher besser war, die 6 zu entfernen: Sie wäre sonst mit dem Produkt "zusammengewachsen". So kann das Produkt problemlos abgelesen werden: 17.760.
Weiterführend gilt für die Multiplikation:
Sollten große Zahlen mit mehreren abschließenden Nullen zu multiplizieren sein (z.B. 24.000 und 5.100), so ist es aus Platzgründen leichter, die führenden Ziffern miteinander zu multiplizieren (im Beispiel 24 und 51) und die verbleibende Anzahl von Nullen einfach hinten an das Ergebnis anzuhängen (24 x 51 = 1.224 plus insgesamt fünf Nullen = 122.400.000).
Auf ein eventuell vorhandenes Komma muß immer geachtet werden, da es sich bei der Multiplikation verschieben kann ! (z.B. 2,05 x 2,1 = 4,305: Verschiebung 2. Stelle von rechts nach 3. Stelle v.r.) (14)

3.3.2 Fortgeschrittene Multiplikationsmethoden

In Japan läuft die Standardmethode im Unterschied zur oben erläuterten Methode nur beim Multiplikand von rechts nach links, beim Multiplikator aber von links nach rechts ab. Das liegt daran, daß die Wege, die der Finger zwischen den Verschiebeoperationen zurücklegt, bei rechts-nach-links-Methoden geringfügig länger sind als bei links-nach-rechts-Methoden. Bei der Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen zum Beispiel legt der Finger bei rechts-nach-links die Distanz von 9 Spalten zurück, bei links-nach-rechts sind es nur 7. Wie bereits im Punkt 3 dargelegt, legt der erfahrene Anwender viel Wert auf solche scheinbaren Kleinigkeiten. Es existiert auch eine Methode, bei der die Multiplikation der beiden Faktoren von links nach rechts abläuft. Diese Methode ist bei Annäherungen eher bequem, bei großen Zahlen wird sie jedoch schnell sehr umständlich.
Zusätzlich zur Standardmethode existieren für die Multiplikation zahlreiche andere Methoden. Um den Abstand zwischen dem Multiplikator und dem Produkt um eine Spalte zu verkürzen, kann der Multiplikator um eine Spalte nach rechts versetzt werden. Dabei wird er jedoch vom Produkt teilweise überschrieben. Diese Methode setzt verstärkt das Sich-merken von Zwischenergebnissen voraus.
Bei einer Multiplikation, bei der die letzte Ziffer des Multiplikators eine eins ist, kann der Multiplikand dorthin versetzt werden, wo vorher das Produkt entstand. Dann werden die vorderen Ziffern des Multiplikands, dessen letzte Ziffer ja auf jeden Fall erhalten bleibt (1 mal x = x), durch die vorderen des Produkts überschrieben. Bei dieser Methode wird die Zahl der Operationen um eine verringert, da die letzte, in diesem Fall eine Multiplikation mit eins, entfällt. Es gibt auch eine ähnliche Methode für den Fall, daß die erste Zahl des Multiplikators eine eins ist. Für den Fall, daß der Multiplikator etwas kleiner als die nächste Zehnerpotenz ist (z.B. 98, 997, etc.), ist es einfacher und schneller, den Multiplikand mit der nächsten Zehnerpotenz zu multiplizieren, und dann die Differenz mal dem Multiplikator abzuziehen. (15)
Diese Methoden bieten sich wirklich nur für den erfahrenen Benutzer an, der Anfänger dürfte wohl allein mit der Entscheidungsfindung, welche Methode in seinem Fall die effizientere ist, den Zeitvorteil dieser Methoden wieder zunichte machen.

3.4 Die Division

Die ursprüngliche ("alte") Methode der Division auf dem Abakus erforderte das Beherrschen einer komplizierten Divisonstabelle, die auswendig gelernt werden mußte. Sie erleichterte unter anderem die Arbeit mit den alten chinesischen Gewichten, die nicht auf dem Dezimalsystem basierten. Als der Abakus in Japan eingeführt wurde, wurde diese Methode mit eingeführt und übernommen, da sie das Rechnen mit der damaligen japanischen Währung erleichterte, die zu der Zeit ebenfalls nicht nach dem Dezimalsystem aufgebaut war. Als jedoch mit den Reformen der Meiji-Regierung (ab 1869) (16) das Währungssystem auf ein dezimal-basierendes umgestellt wurde, begann sich die Standardmethode durchzusetzen, die schon vorher von einigen japanischen Mathematikern favorisiert und auch propagiert worden war. (17)

3.4.1 Die Standardmethode der Division

Die Division erfolgt auf dem Abakus analog zur Multiplikation. Divisor und Dividend werden in dieser Reihenfolge von links mit einer Spalte Abstand in den Abakus eingegeben. Der Quotient entsteht ganz rechts, wobei seine Größe abgeschätzt werden muß, da er von links nach rechts entsteht. Eventuelle Fehlschätzungen lassen sich aber leicht durch Verschieben der bereits entstandenen Stellen des Quotienten korrigieren. (In der Regel dürfte eine eventuelle Verschiebung nur nach links erfolgen, wenn nämlich zuwenig Stellen für den Quotienten vorhanden sind. Eine Verschiebung hin zum rechten Rand hätte rein ästhetische Gründe.)
Als erstes Beispiel sei 156 durch 13 zu dividieren. Es wird also zuerst der Divisor (die 13) und dann der Dividend (156) in den Abakus eingegeben. Wie bei unserer Methode der schriftlichen Division wird nun

der Dividend von links nach rechts angegangen. Da sich die führende 1 nicht durch 13 teilen läßt, wird die nächste Stelle (die 5) noch dazugenommen. Jetzt läßt sich die entstandene 15 durch 13 teilen, Ergebnis 1. Da eine dreistellige Zahl durch eine zweistellige geteilt wird, kann, sofern ein ganzzahliges Ergebnis entsteht, eine zweistelliger Quotient erwartet werden. Die eins wird also in der vorletzten Spalte eingetragen, die letzte wird für die zweite Ziffer freigehalten. Nun wird der Quotient mit dem Divisor multipliziert, das Ergebnis wird vom Dividend von vorne her abgezogen. 1 x 13 gibt 13, diese 13 wird nun von der 15 der 156 abgezogen, bleibt die 2, insgesamt 26.

Die 26 wird nun wieder durch 13 geteilt, das Ergebnis 2 wird in die letzte Spalte eingetragen. Nun wird zur Kontrolle wieder die Multiplikation durchgeführt, 2 x 13 = 26, die 26 wird vom Dividend

abgezogen, Ergebnis 0. Der Dividend ist nun komplett verschwunden, als Ergebnis der Division steht die 12 in den letzten beiden Spalten.
Bei dem obengenannten Beispiel mußte der Divisor für die nach jeder Division folgenden Multiplikation nicht aufgeteilt werden, da nur die Frage nach 1 x 13 bzw. 2 x 13 gestellt war. Wenn der Divisor jedoch groß ist oder mit einer Zahl größer als zwei oder drei multipliziert werden muß, muß er stückweise multipliziert werden. Das soll an folgendem Beispiel verdeutlicht werden: 364 sei durch 28 zu teilen. Dazu werden wieder zuerst Divisor und dann Dividend in den Abakus eingegeben. Nun werden jeweils nur die ersten Ziffern in Betracht gezogen, also in unserem Beispiel die 2 der 28 und die 3 der 364. Da die drei einmal durch die zwei geteilt werden kann, ist die erste Ziffer des Quotienten die 1. Da eine zweistellige Zahl zu erwarten ist, wird diese 1 in die zweite Spalte von rechts eingetragen.

Diese 1 wird nun mit dem Divisor multipliziert, das Ergebnis (1 x 28 = 28) wird von den vorderen zwei Stellen des Dividenden abgezogen, also 36 - 28. Dabei muß man, um die 8 zu subtrahieren, zuerst 10 abziehen und dann 2 addieren. Anschließend werden die Zehnerstellen subtrahiert, also die 2 der 28

von der 3 der 36 (durch die erste Subtraktion steht hier nur noch eine 28, von der die 20 subtrahiert wird. Es bleibt also die 8 stehen.) Als neuer Dividend wird jetzt die 84 angezeigt. Betrachtet man nun wieder die beiden ersten Ziffern (die 8 der 84 und die 2 der 28), so würde sich ein Faktor von 4 ergeben (8 : 2 = 4). Da es sich aber mit der 8 der 28 um eine größere Zahl als die 4 der 84 handelt, ist es angebracht, den Faktor um 1 zu verringern. Es wird also die 3 in die Spalte ganz rechts eingetragen.

Nun wird die 28 mit dem errechneten Faktor 3 multipliziert, und das Ergebnis vom Dividenden abgezogen. Da 3 x 28 nicht unbedingt ohne weiteres im Kopf gerechnet werden kann, wird die Multiplikation zerlegt in 3 x 8 + 3 x 20. Dabei können die Einzelergebnisse separat vom Dividenden subtrahiert werden. Es gilt also: 84 - (3 x 8) - (3 x 20) = 84 - 24 - 60 = 84 - 84 = 0. Die Divison geht folglich auf, es bleibt kein Rest, der Dividend ist verschwunden. Das Ergebnis der Division steht in den

beiden Spalten ganz rechts: 13.
Als letztes Beispiel sei zur Erläuterung der Behandlung von Kommastellen im Quotienten noch die Suche nach dem Ergebnis der Division 43 : 4 = ? gestellt. Wie oben werden Divisor und Dividend nacheinander eingegeben.
Bei Betrachtung der Aufgabe stellt man fest, daß wohl kein ganzzahliges Ergebnis zu erwarten sein dürfte, sondern eines mit Kommastellen, deren Anzahl aber schwer zu schätzen ist. Da man also nicht weiß, wieviele Stellen der Quotient haben wird, bleibt nichts weiter übrig, als eine Spalte als Trennung zwischen Dividend und Quotient zu belassen und die erste Stelle des Quotienten in die darauffolgende rechte Spalte einzutragen.

Die erste Stelle des Dividenden wird wieder durch den Divisor geteilt, Ergebnis 1. Eine Multiplikation erübrigt sich, es genügt, die 4 von der ersten Dividendenstelle abzuziehen, als neuer Dividend entsteht die 3. Diese 3 ist nun nicht mehr durch 4 teilbar, man geht also zur nächstniedrigeren Stelle weiter.

Diese existiert nun nicht mehr direkt sichtbar auf dem Abakus. Rechts neben der 3 steht aber eine 0, die 3 wird also zu einer 30 (eigentlich zu einer "3,0" ,da die 3 die letzte Stelle des Dividenden ist). Für den Quotienten ist jetzt wichtig, daß man im Dividend eine Stelle weiter gegangen ist, ohne eine Operation auszuführen, dementsprechend wird im Quotienten eine Stelle übersprungen (= Null wird eingetragen). Er entspricht jetzt also der 10. Außerdem ist man im Dividenden an das Komma geraten, welches sich auch für den Quotienten auswirkt, er entspricht jetzt einer 10,... . Der Dividend selber hat sich jetzt aber nahe an den Quotienten bewegt, was man durch einfaches Verschieben nach links korrigiert. Die so entstandenen 30 kann man nun wieder bequem durch 4 teilen: 30 : 4 = 7,... . Diese 7 wird nun als erste Nachkommastelle der bereits vorhandenen 10,... eingetragen, es entsteht 10,7... . Nun wird die 7 mit dem Divisor (4) multipliziert (=28), das Ergebnis wird von den 30 abgezogen. Es bleibt die zwei.

Daß diese 2 nun nicht durch 4 geteilt werden kann, könnte nun fälschlicherweise leicht wieder als Problem betrachtet werden. Diese Frage stellt sich jedoch gar nicht. Man erinnere sich: Es wurde immer eine Stelle nach der anderen durch den Divisor geteilt, das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert und das Produkt wurde von derselben Stelle subtrahiert, die geteilt wurde. Nichts anderes wurde oben getan: Die 3 war nicht durch 4 teilbar, die 0 wurde eingetragen, eine Multiplikation respektive Subtraktion hat sich erübrigt (0 x Zahl = 0), man hat sich eine Stelle weiter bewegt, wodurch die 30 entstanden ist. Diese 30 wurde nun durch 4 geteilt und 28 wurden von ihr abgezogen, wodurch die 2 entstand. Bewegt man sich nun eine Stelle weiter, wie bei jedem Schritt, steht aber nicht 2 da, sondern 20 ! Diese 20 läßt sich jetzt leicht durch 4 teilen, das Ergebnis (5) wird in den Quotienten eingetragen. Vorher sollte man die 20 aber wieder um eins nach links verschieben, um die Trennung von Dividend und Quotient zu gewährleisten. Nach der Multiplikation und der Subtraktion ist der Dividend komplett verschwunden, die Division ist abgeschlossen. Der Ordnung halber kann der Quotient, von dem jetzt feststeht, wieviele

Stellen er hat, an den rechten Rand verschoben werden, wo er normalerweise stünde. Da das Komma nach der Null stand, erhält man als Ergebnis 10,75.
Abschließend läßt sich sagen, daß die Division mit Kommastellen keine wirklichen Schwierigkeiten bereitet, wenn man die Kommastelle im Auge behält und Schritt für Schritt vorgeht. (18)

3.4.2 Fortgeschrittene Divisionsmethoden

Analog zur Multiplikation gibt es auch für die Division eine schnellere Methode, wenn der Divisor mit einer 1 beginnt. Dabei wird der Dividend ganz rechts eingetragen und im Laufe der Rechnung vom Quotienten überschrieben. Diese Methode bietet aber nur einen wirklichen Vorteil, wenn die zweite Stelle des Divisors Null oder nicht sehr viel größer als Null ist. Ist die zweite Ziffer eine große Zahl (9,8,...) wird diese Methode schnell unangenehm. Ist der Divisor etwas kleiner als die nächsthöhere Zehnerpotenz (97, 998, etc.), gibt es noch eine recht schnelle Divisionsmethode, die mit der Division der Komplementärzahl (bezogen auf die nächsthöhere Zehnerpotenz) arbeitet. Beide Methoden sind aber eben nur in obengenannten Sonderfällen anwendbar, ansonsten ist die Standardmethode schneller. (19)

3.5 Die Quadratwurzel

Die Methode zum Finden der Quadratwurzel einer Zahl x basiert auf dem Zerlegen von x in zwei Komponeneten a und b, wobei x = (a + b)² = a² + 2ab + b².

3.5.1 Ziehen der Quadratwurzel

Die algebraische Darstellung der Methode zum Finden der Wurzel einer Zahl ist schwer theoretisch darzulegen, ohne ein Beispiel zu benutzen. Die Methode soll deshalb im folgenden durch Beispiele erklärt werden, was sowohl einfacher ist als auch dem Verständnis dienen dürfte. Die genaue algebraische Erklärung folgt direkt im Anschluß auf das erste Beispiel. Als erstes sei die Wurzel der Zahl 576 zu finden. Diese wird zuerst ganz rechts in den Abakus eingegeben. Daraufhin wird sie (nur im Kopf) vom Komma aus in Zweierpaare zerlegt. (Diese Zerteilung findet vom Komma aus in beiden Richtungen statt, die Zahl 8.935.568,6435 wird also in 8'93'55'68,64'35 zerlegt, wobei die 8 am Anfang als "08" zu betrachten ist.) Nun wird die zum von links her ersten Zweierpaar nächstkleinere Quadratzahl gesucht. In unserem Beispiel wurde die 576 in 5'76 zerlegt, die zur 5 nächstkleinere Quadratzahl ist die 4 mit 2². Die 2 wird mit einigem Abstand weiter links in den Abakus eingegeben.

Diese 2 wird nun quadriert, und das Quadrat von der 5 abgezogen, es bleibt also noch eine 1 in der ersten Stelle des Arguments unter der Wurzel, insgesamt 176. Nun wird dieselbe Zahl verdoppelt, das Ergebnis wird mit einer Spalte Abstand links neben der zwei eingetragen, dort steht jetzt also die 4.

Nun wird die von links erste Ziffer des Arguments (1) durch die 4 geteilt. Da das in diesem Fall nicht möglich ist, wird die zweite Ziffer zu Hilfe gezogen (=> 17). 17 : 4 ergibt 4,... , dieses Ergebnis wird nun rechts neben die vorher erhaltene zwei eingetragen. Nun wird diese 4 mit der ersten 4 multipliziert, und das Ergebnis von den 17 abgezogen (17 - (4 x 4 =16) = 1). Man erhält also als Rest 1, insgesamt steht nun nur noch die 16 als Argument unter der Wurzel. Als letztes muß noch die 4 quadriert werden und vom Rest abgezogen werden. Da 4² = 16 und 16 -16 = 0, steht nun nur noch die 4 und daneben die 24 im Abakus. Diese 24 ist das Ergebnis der gesamten Rechnung. Die 4, die nur als Zwischenergebnis diente, kann der Übersichtlichkeit halber entfernt werden. Zu beachten ist, daß das Ergebnis nun mitten im Abakus entstanden ist, was aber nichts aussagt, da man das Argument zu Anfang genausogut ganz links eintragen könnte.

Zur weiteren Erläuterung soll jetzt noch dasselbe Vorgehen "auf Papier" dargestellt werden:

Bei der Methode mit dem Abakus hat man es mit wesentlich "handlicheren" Zahlen zu tun, was die Rechnung sowohl vereinfacht als auch beschleunigt.
Als zweites Beispiel soll die Wurzel der Zahl 8.464 gesucht sein. Zuerst wird sie wieder ganz rechts in den Abakus eingegeben. Daraufhin wird sie in Zweierpaare unterteilt, also wird sie zu 84'64. Nun wird die nächstkleinere Quadratzahl zu 84 (des ersten Zweierpaars) gesucht, in diesem Fall die 9, deren Quadrat 81 ist. (a² ist also 8100; a 90).

Das Quadrat von 9 wird nun von 84 abgezogen, es bleibt die 3. Die 9 wird verdoppelt (2a), Ergebnis 18, diese 18 wird, etwas weiter links von der 9 und durch eine Leerspalte von ihr abgetrennt, eingetragen.

Die nächsten beiden Ziffern des Arguments (36) werden nun durch die 18 geteilt; in diesem Fall geht die Rechnung auf (36 : 18 =2), als zweite Ziffer des Gesamtergebnisses erhält man die 2 (=b). Zieht man die 2 x 18 von den 36 ab, so bleibt schließlich nur noch die 4 im Argument stehen.

Von ihr wird nun noch 2² (=b²) abgezogen. Da 4 - 4 = 0, ist das Argument wieder komplett verschwunden, als Ergebnis steht die 92 im Abakus.

Die obengenannte Methode ist am leichtesten anhand der Algebra zu erklären, die zwei anderen (in 3.5.2 angesprochen) werden jedoch häufiger benutzt.
Da ab ca. fünf Stellen aufwärts die Zahlen (a,b und Zwischenergebnis) groß und unübersichtlich werden und anders aufgeteilt werden müßten, wird eine andere algebraische Formel benutzt, nämlich
(a + b + c)² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c² , wodurch man auch dem zu erwartenden (mindestens) dreistelligen Ergebnis besser gerecht wird. (20)

3.5.2 Andere Methoden zum Ziehen der Wurzel

Das Ziehen von Kubikwurzeln ist mit dem Abakus auch möglich, dürfte aber sowohl vom Durchschnittsbenutzer mangels Gelegenheit so gut wie nie benutzt werden als auch hier jeden Rahmen sprengen. Es sollen nur außer der obengenannten (ersten) noch zwei andere Methoden kurz angesprochen werden. Die zweite Alternative spart dem Benutzer etwas Zeit, da das Zwischenergebnis (2a) nicht wie oben in eine besondere Spalte eingetragen, sondern direkt über das erste Ergebnis (a) geschrieben und später wieder durch zwei geteilt wird, wodurch man wieder a erhält. Diese Methode wird anscheinend von "einigen maßgebenden Experten" (21) als die beste angesehen. Bei der dritten Methode wird der Ausdruck 2ab + b² durch zwei geteilt, wodurch ab + b²/2 entsteht. Anschließend wird ab abgezogen, es entsteht b²/2, wovon später b²/2 wieder subtrahiert wird, wodurch das Argument komplett verschwindet. Diese Methode dürfte die weitestverbreitete sein. (22)

Schlußfolgerung

Der Abakus wird u.a. in Japan noch hergestellt und viel verwendet. Besonders in Schulen hilft er Kindern, ein grundsätzliches Verständnis für die Mathematik zu erlangen, wie Leo Richards vom Soroban Institut an der University of Southern California betonte.(23) Eine interessante Studie erschien am 13. Februar 1987 in der Stars and Stripes, derzufolge japanische Grund- und Hochschüler im Fach Mathematik besser abschnitten als Gleichaltrige in den Vereinigten Staaten. Eine Ausnahme gäbe es allerdings: Kinder von Militärangehörigen, die in Übersee unterrichtet würden, schnitten in mathematischen Tests besser ab als ihre Kameraden in den USA. Laut Richard Osner, Leiter der Schulen für Japan, trage der Abakus zu diesem Ergebnis bei. (24) (K5)
Zusammenfassend läßt sich sagen, daß das Rechnen mit dem Abakus nicht so sehr aus rechnen, sondern eher aus Aufgliederung eines Problems in mehrere kleinere und leichter lösbare Probleme besteht, wie man z. B. an den Hilfskonstruktionen bei Addition und Subtraktion oder an der Quadratwurzel sehen kann. Diese Zerlegung eines Problems und die kleinen Umwege, die zur Lösung einer Aufgabe führen, machen erst aus einem einfachen Holzinstrument das vielseitige Werkzeug, das es ist. Seine Stärke liegt in seiner Unabhängigkeit von elektrischer Energie und dadurch, daß er weder mehr Tinte noch frisches Papier benötigt, hat er auch unserer schriftlichen Rechenmethode gegenüber einen Vorteil. Seine Herstellung ist nicht teuer, und da lediglich "nachwachsende Rohstoffe" (sprich Holz) bei der Produktion benutzt werden, ist er auch umweltverträglicher als Plastiktaschenrechner.
Zugegebenermaßen können keine höheren Funktionen (sin, cos, e hoch x etc.) auf ihm berechnet werden, für den Alltagsgebrauch dürften seine Grundfunktionen aber gut ausreichen. Er findet in unserer heutigen hochtechnisierten Welt vielleicht gerade durch seine Unkompliziertheit und Anspruchslosigkeit seine Existenzberechtigung.

Anmerkungen:

(K1) Daß der Abakus von einem festen Zahlensystem abhängig ist, ist nur mit Einschränkungen korrekt. Im "Himmel" des suan pan kann man das Dualsystem zum Beispiel sehr gut darstellen (25). Der Abakus eignet sich aber auch zur Konvertierung von Währungen (die nicht zwangsläufig auf dem Dezimalsystem aufbauen [altes englisches System mit Pfund, Schilling, Pence]) oder aber für Zeitberechnungen mit Stunden, Minuten und Sekunden. (26)
(K2) Da für die Addition nur ein Lösungsweg praktikabel scheint, dürfte es hier auch nur eine Methode geben. Unterschiede zwischen mehreren eventuell existierenden Methoden dürften minimal sein. Dasselbe gilt für die Subtraktion, sofern Ergebnisse >= 0 entstehen. (Diese Annahme des Autors begründet sich lediglich in der Tatsache, daß über andere Additions- oder Subtraktionsmethoden keinerlei Material gefunden werden konnte.)
(K3) Es lassen sich auch negative Ergebnisse von Subtraktionen auf dem Abakus darstellen, und zwar durch ihr jeweiliges 10er-Komplement. Der japanische soroban ist für diese Operation jedoch etwas besser geeignet als der chinesische suan pan. (27)
(K4) Bei dem Beispiel handelt es sich um einen kleinen Teil einer Aufgabe wie sie bei einer Prüfung zum Operator achten Grades (niedrigste Stufe) verwendet worden sein könnte. Die komplette Prüfung umfaßt 10 gemischte Additionen und Subtraktionen von jeweils zehn zweistelligen Zahlen. Darauf folgen 20 Multiplikationen einer zwei- oder dreistelligen Zahl mit einer einzelnen Ziffer (70% Genauigkeit,10 Minuten Zeitvorgabe). Als letztes müssen in derselben Zeit 20 zwei- bis vierstellige Zahlen jeweils durch eine Ziffer geteilt werden. Für den Operator ersten Grades (höchste Stufe) müssen zuerst 10 gemischte Additionen und Subtraktionen, bei denen jeweils ein neun- bis elfstelliges positives oder negatives Ergebnis entsteht, innerhalb von zehn Minuten durchgeführt werden. Es folgen 20 Multiplikationen und 20 Divisionen, bei denen wiederum bis zu elfstellige Ergebnisse entstehen, aber auch sehr kleine Dezimalbrüche (wieder zehn Minuten Zeitvorgabe). Als letztes müssen dann 10 gemischte Additionen und Subtraktionen von jeweils 10 Zahlen innerhalb von 2 Minuten durchgeführt werden, bei denen bis zu fünfstellige Ergebnisse entstehen. Die letzte Aufgabe muß ohne den Abakus, also im Kopf gerechnet werden ! (28)
(K5) Die angeführten Zitate stammen von einem Abakus-Hersteller in Japan, Tomoe Co.,Ltd. Sie sind mit Vorbehalt zu behandeln, da sie erstens aus zweiter Hand stammen und zweitens der Hersteller ein gesundes Interesse haben dürfte, seine Produkte zu verkaufen und diese Zitate zu Werbezwecken benutzte. Der Autor geht jedoch davon aus, daß der Hersteller seinerseits ordnungsgemäß zitiert hat.

(1) nach: WIE GEHT DAS, Heft 1.1979. Seite 2. (Abakus)
(2) Ifrah, Georges: Die Zahlen. 1992. Seiten 89f.
(3) Dilson, Jesse: The Abacus. 1968. Seite 38
(4) Ifrah, Georges, a.a.O., Seiten 92 ff.
(5) Kojima, Takashi: Advanced Abacus. 1963. Seite 18
(6) Ifrah, Georges, a.a.O., Seiten 228 ff.
(7) Zentner, Christian: Der große Bildatlas zur Weltgeschichte. 1982. Seite 558
(8) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 19 ff.
(9) Ifrah, Georges, a.a.O., Seiten 97 ff.
(10) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 43 ff.
(11) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 80 ff. (Kapitel V, More about decimals)
(12) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 42 ff. und 89 ff.
(13) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 112 ff.
(14) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 120 ff.
(15) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 34 ff. (Kap. III, Other Methods of Multiplication)
(16) Zentner, Christian, a.a.O., Seite 330.
(17) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 64 f.
(18) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 131 ff.
(19) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 64 ff. (Kap. IV, Other Methods of Division)
(20) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 108 ff. (Kap. VII, Extracting Square Roots)
(21) Kojima, Takashi, a.a.O., Seite 108
(22) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 108 ff.
(23) aus: Daily Yomiuri, 20. August 1996,"Ancient Abacus plays new role in digital age", gefunden in: Fa. Tomoe Co. Ltd.: How to use Soroban (Abacus) / Topics & other useful information about Soroban (Abacus).
[Bei der Daily Yomiuri scheint es sich um eine japanische Tageszeitung zu handeln, das Zitat selber ist vom Autor auf englisch aufgefunden und ins Deutsche übertragen worden. Wenn man davon ausgeht, daß Herr Richards (an einer amerikanischen Universität) auf englisch interviewt wurde, würde das Zitat erst ins Japanische übertragen worden sein, so veröffentlicht wiederum ins Englische übersetzt und gefunden und schließlich ins Deutsche übersetzt worden sein. Der Autor hofft jedoch, daß der Sinn trotzdem erhalten geblieben ist, kann jedoch aus hoffentlich verständlichen Gründen keinerlei Garantie dafür übernehmen.]
(24) aus: Stars and Stripes, 13. Februar 1987,"DoDDS count on soroban for higher scores", gefunden in: Fa. Tomoe Co. Ltd.: How to use Soroban (Abacus) / Topics & other useful information about Soroban (Abacus). [Auch der folgende Abschnitt wurde auf englisch vorgefunden, die Übersetzung ist nur rudimentär, deshalb hier der Originaltext:
Japanese elementary and high school students rank higher in mathematics than their peers in the United States, a recent study found. One group of American students, however, bridges that gap---children of military people attending Department of Defense Dependent Scho[o]ls overseas. DoDDS students consistently score higher than their classmates in the United States on the math portion of the Scholastic Aptit[u]de Test and other evaluation ex[am]s,according to DoDDS statictics. One reason for the higher scores by DoDDS students in Japan may be the use of a teaching tool borrowed from the Japanese---The SOROBAN or abacus, education officials said. "The DoDDS math scores are higher than the norm for the United States and the Soroban contributes to this fact,"said Richard Osner, superintendent of schools for Japan.]
(25) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 65 ff.
(26) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 86 ff. (Kap. VI, Calculation Involving more than one Unit of Measurement)
(27) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 24 ff. (Kap. II, Negative Answers from Subtraction)
(28) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 120 ff. (Kap. VIII, More Exercises)


Abb. 1 Dargestellt ist ein russischer Abakus (stschoty). Die Zahl 825 wird angezeigt.	Abb. 2 Ein chinesischer suan pan. Auch hier wird die Zahl 825 angezeigt. (Zahlen werden an der Trennleiste abgelesen, die Kugeln im oberen Bereich, dem sog. Himmel, sind jeweils fünf Zähler wert.)
	Alle Darstellungen haben lediglich die Veranschaulichung der Unterschiede zum Ziel. In Wirklichkeit haben die Abaki mehr Reihen, die zur Darstellung größerer Zahlen dienen und für einige Rechenoperationen benötigt werden.
Abb. 3 Ein japanischer soroban. Hier wird ebenfalls die Zahl 825 angezeigt. (Zahlen werden wieder an der Leiste abgelesen, die Kugeln im oberen Bereich sind fünf Zähler wert.) (9)


"2"	"5"	"10"

"11"	"101"	"263.195"


+ 1 - 0,3 (= + 0,7)	+ 5 - 1 (= + 4)	Übertrag

+ 90	Übertrag	= 303(,)122



43	- 10		+ 4 (= + 5 - 1)

- 20		= 17


11.000	= 11.000	= 11.000

= 11.000	11.000 - 5	= 10.995

Geschichte und Funktionsweise

Zusammenfassung:

Inhaltsverzeichnis:

Einleitung