Untenstehend meine Facharbeit zum Thema 'Abakus'
(Fehler wurden bereinigt, herzlichen Dank allen Lesern, die mich darauf hingewiesen haben).
Mittlerweile gibt es auch eine FAQ-Liste mit häufig gestellten Fragen zum Thema.
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Der Abakus
Geschichte und Funktionsweise
Facharbeit im Fach Mathematik
Benjamin Wrightson
Erstellt: 18.12.1996
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Der Abakus
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Geschichte und Funktionsweise
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Zusammenfassung:
Die geschichtliche Entwicklung des Abakus wird, soweit bekannt, kurz vorgestellt.
Es wird erläutert, wie Zahlen auf dem Abakus dargestellt werden.
Dann wird erklärt, wie die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) auf
dem Abakus durchgeführt werden können. Auf alternative Methoden wird hingewiesen.
Weiterführend wird noch das Ziehen der Quadratwurzel auf dem Abakus dargestellt.
Inhaltsverzeichnis:
Einleitung
Der Abakus ist im abendländischen Kulturraum so gut wie
unbekannt. Oft wird er mit dem Rechenschieber verwechselt oder
als Kinderspielzeug belächelt. Demgegenüber wird er in China,
Japan, Rußland und einigen angrenzenden Ländern noch täglich
gebraucht. Das ist um so erstaunlicher, als seine
Rechenmöglichkeiten auf den ersten Blick von einem kleinen
Taschenrechner, wie man ihn bei uns oft als Werbegeschenk oder
Billigartikel bekommt, sowohl was Geschwindigkeit als auch was
Vielfalt betrifft, übertroffen zu werden scheinen.
Diese Arbeit soll über die oft unterschätzten Fähigkeiten des
Abakus aufklären, seine Geschichte kurz erläutern und den Leser
in den Umgang mit ihm einweisen. Eine komplette Einweisung in
alle mit dem A. durchführbaren Rechenmethoden würde den ohnehin
schon strapazierten Rahmen bei weitem sprengen, zumal es für ein
und dieselbe Operation häufig mehrere Wege gibt, diese
durchzuführen. Der Autor hat sich deshalb auf die vier
Grundrechenarten sowie auf das Auflösen von Quadratwurzeln
beschränkt. Außerdem scheint adäquate Literatur für den
deutschen Sprachraum nur unter extremen Schwierigkeiten zu
finden zu sein (siehe
Literaturverzeichnis). Die Recherche
beschränkte sich hauptsächlich auf englischsprachige Literatur,
teilweise wurde eigene Erfahrung (soweit überhaupt vorhanden) in
die Arbeit eingebracht.
1. Die Geschichte des Abakus
Unter dem Abakus verstehen wir heute den in östlichen und
fernöstlichen Ländern noch weit verbreiteten Holzrahmen mit den
darin senkrecht eingebauten Stäben, an denen durchbohrte Kugeln
auf- und abgeschoben werden können. Obwohl heutzutage
unterschiedliche Formen des A. existieren, ist das Prinzip immer
das gleiche. So existiert in Rußland ein Kugelbrett,
stschoty
genannt, bei dem an jedem Stab zehn Kugeln befestigt sind, von
denen die jeweils fünften und sechsten farblich markiert sind,
was die Übersichtlichkeit erhöht
(siehe Abb. 1).
In China heißt die dort übliche Variante
suan pan (Rechenbrett), in
Japan
soroban.
Suan pan und
soroban unterscheiden sich vom
stschoty durch eine zusätzliche horizontale Leiste, die die
Kugeln auf den Stäben trennt, und durch die Zahl der Kugeln auf
jedem Stab: Bei der chinesischen Variante befinden sich an jedem
Stab sieben Kugeln, wobei die horiz. Leiste die fünfte von der
sechsten trennt
(s. Abb. 2).
Die unteren fünf Kugeln stehen jeweils für einen, die oberen
beiden für fünf Zähler. In China heißt
der untere Bereich mit den fünf Kugeln "Erde", der
mit den zwei Kugeln "Himmel". Der japanische soroban benötigt
nur noch fünf Kugeln pro Stab, wobei die Leiste die vierte von
der fünften trennt. Auch hier steht jede der vier Kugeln für
einen, die einzelne oberhalb der Leiste für fünf Zähler
(s. Abb. 3).
1.1 Die Ursprünge
Da der Abakus ein sehr altes Gerät ist, das wohl schon seit
Jahrtausenden in unterschiedlichen Formen in Gebrauch ist,
fällt es schwer, seinen genauen Ursprung festzulegen. Das Wort
Abakus leitet sich wahrscheinlich vom phönizischen abak her. Es
bedeutet: Auf eine Fläche gestreuter Sand zum Schreiben.
Einigen Quellen zufolge entstand der Abakus auf Madagaskar, wo
man zum Abzählen der Soldaten jeden einzeln durch einen schmalen
Durchgang treten ließ und dabei jedesmal einen Kieselstein in
eine Furche auf dem Boden legte. Nach jeweils zehn Soldaten
wurden die zehn Kieselsteine durch einen zusätzlichen in einer
zweiten Furche, der "Zehnerfurche", ersetzt. Nach 100 Soldaten
wurden die zehn Kieselsteine in der Zehnerfurche durch einen in
einer dritten, der "Hunderterfurche", ausgetauscht. Andere
Völker hätten dann die Furchen im Boden durch Stäbchen und die
Kieselsteine durch Kugeln mit Löchern ersetzt.
Anderen Quellen zufolge sei der A. in Zentralasien, irgendwo in
einem Landstrich in der früheren Sowjetunion entstanden. Von
dort aus soll er in die angrenzenden Länder verbreitet worden
sein. In Europa sei er durch die dort vorherrschende Vorliebe
für Papier, Feder und Tinte übergangen worden, in China jedoch
wäre er bereitwillig akzeptiert worden.
Die römischen Rechenmeister (calculatores) verwendeten
Taschenabaki, die aus einer Metallplatte mit einer bestimmten
Anzahl von parallel angeordneten Schlitzen und darin
verschiebbaren Knöpfen (den sog. calculi) bestanden. Diese Art
Abakus scheint aber noch vor oder mit dem Untergang des röm.
Reiches verschwunden zu sein. Die Völker des abendländischen
Mittelalters haben jedenfalls die Rechentafel dem Abakus
vorgezogen, die zwar Addition und Subtraktion erlaubte, aber nur
bedingt zur Multiplikation und Division benutzt werden konnte.
1.2 Das Mittelalter
Als die Europäer im Mittelalter durch die Kreuzzüge (etwa
zwischen 1095 und 1270 n. Chr.) erste Kontakte mit der
islamischen Kultur hatten, erlernten einige auch das Schreiben
von Zahlen in den Sand. So gelangten die arabischen Ziffern mit
den Methoden des schriftlichen Rechnens mit ihnen ins Abendland.
Daraufhin kam es zu einem Streit zwischen den Anhängern der
Methoden des Rechenbretts (=Rechentafel, damals übrigens auch
abacus genannt, eine Tafel, auf der Rechenmarken verschoben
wurden), und denen, die die arabische Methode des Schreibens der
Zahlen bevorzugten. Jeder war davon überzeugt, seine Methode
wäre die bessere. Die Kirche, die damals einen enormen Einfluß
auf Philosophie und Wissenschaften hatte, und deren Ziel es
eigentlich war, durch die Kreuzzüge die eigene Kultur zu
verbreiten und nicht umgekehrt, sah im übernehmen der arabischen
Rechenmethoden eine Bedrohung der eigenen Autorität und erklärte
die arabische Methode kurzerhand für Teufelszeug. Sie stellte
sich damit klar auf die Seite der abacisten, konnte aber den
Siegeszug der arabischen Methode nicht verhindern.
Der Gebrauch des abacus blieb aber noch bis ins 18. Jahrhundert
üblich. Die britischen Finanzbeamten zum Beispiel benutzten nur
das Rechenbrett, das dort den Beinamen exchequer (Schachbrett)
trug, für ihre fiskalischen Berechnungen. Daher auch die
Bezeichnung des brit. Finanzministers: Chancellor of the
Exchequer. Erst die franz. Revolution (ab 1789) verbot den
Gebrauch des abacus in Schulen und Verwaltungen, offiziell aus
dem Grund, daß man mit dem arabischen System unabhängig vom
Vorhandensein eines abacus sei.
So wurde die Weiterentwicklung jeder Form des Abakus in Europa
verhindert, und man ging zum
arabischen Zahlensystem (und seinen Zahlen) über.
1.3 Die jüngere Geschichte
Durch diese Entwicklung in Europa ist klar, daß die jüngere
Geschichte des Abakus nur in China oder Japan stattfinden kann.
In China fand aber eine der europäischen entgegengesetzte
Entwicklung statt: Dort ging man von einem schriftlichen System
über zum Rechnen mit dem Abakus (hier suan pan [Rechenbrett]
genannt). Dort arbeitete man vor der Einführung des A. mit einem
umständlichen System aus vertikalen und horizontalen Strichen,
das wohl eine Abbildung des Rechnens mit Rechenblöcken war. Das
schriftliche System wurde etwa zur Zeit der Ming-Dynastie
(1368-1646)
vom effektiveren suan pan abgelöst.
Der japanische Abakus, soroban genannt, ist wahrscheinlich eine
Weiterentwicklung des chinesischen A. (Das japanische Wort
soroban entstand vermutlich aus dem chinesischen suan pan,
soo-pan im südlichen Dialekt oder sur-pan in der Mandschurei.)
Der A. ist jedoch bis zum 17. Jh. nicht gemeinhin angewandt
worden. Bis zur pol. Revolution 1868 wurden in Japan sowohl der
chinesische A. mit zwei Fünf- und fünf Ein-Zähler-Kugeln als
auch der ältere japanische mit einer Fünf- und fünf
Ein-Zähler-Kugeln pro Stab benutzt. Nach der Revolution
verschwand der chin. A. völlig aus Japan. Seit etwa 1940 hat
auch der effektivere, neue japanische soroban mit einer Fünf-
und vier Ein-Zähler-Kugeln den älteren japanischen Abakus
ersetzt.
Der Abakus findet in den jeweiligen Ländern bis heute Verwendung.
Es stellt sich auch die Frage, ob man nicht auch seinem
Erzfeind, der kath. Kirche, eins auswischen wollte. Der
Hauptgrund dürften aber die zu dieser Zeit benutzten vielen
verschiedene Zahlensysteme (duodezimal, binär, sexagesimal)
gewesen sein. Als Beispiel sei die Unterteilung eines Tages in
12 Stunden und die einer Stunde in 60 Minuten genannt. Der
abacus ist aber von einem festen Zahlensystem abhängig
und war dadurch der arabischen Methode unterlegen.
2. Die Darstellung von Zahlen mit dem Abakus
Im Folgenden wird näher auf die Darstellung von Zahlen auf dem
suan pan eingegangen, da dieser durch seinen Aufbau Vorzüge
aufweist, auf die später noch eingegangen werden soll, und die
dem Neuling den Einstieg wesentlich erleichtern dürften.
Außerdem lassen sich die mit ihm gewonnenen Kenntnisse wohl am
einfachsten sowohl auf dem stschoty als auch auf dem soroban
anwenden.
2.1 Die Darstellung von ganzen Zahlen
Um mit dem Abakus rechnen zu können, muß man zuerst wissen, wie
der Abakus Zahlen darstellt. Die Darstellung von Zahlen auf dem
Abakus ähnelt unserer herkömmlichen arabischen Schreibweise,
nämlich von der höchsten Zehnerpotenz (Zehntausender, Tausender,
o.ä.; 10 hoch n) ganz links bis zur Einerstelle (10 hoch 0) ganz rechts.
Dabei steht jede Kugelspalte für eine Stelle. Wollte man also
die 1 darstellen, sähe das so aus:
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"1": Eine Kugel ganz rechts an der Leiste.
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Die Kugelspalte ganz rechts entspricht also unserer Einerstelle,
alle Spalten links daneben entsprechen einer um eins höheren
Zehnerpotenz (v.r.n.l.: 10 hoch 1, 10 hoch 2, 10 hoch 3, ...). Mit dieser
Information und dem Wissen, daß die Kugeln über der Querstrebe
fünf Zähler wert sind, kann man jetzt alle natürlichen Zahlen
auf dem Abakus darstellen (dabei werden die Kugeln im unteren
Bereich mit dem Daumen, die im oberen mit dem Zeigefinger
verschoben [Ermöglicht auch gleichzeitiges Verschieben oben und
unten! ]):
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"2"
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"5"
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"10"
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"11"
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"101"
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"263.195"
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Die Zahlen werden also einfach durch Addition gebildet:
263.195
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= 2 x 105 + (5 + 1) x 104 + 3 x 103 + 1 x 102 + (5+4) x 101 + 5 x 100
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= 2 x 100.000 + 6 x 10.000 + 3 x 1.000 + 1 x 100 + 9 x 10 + 5 x 1
= 200.000 + 60.000 + 3.000 + 100 + 90 + 5
= 263.195
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Natürlich wird der Anwender die Zahlen direkt der Reihe nach
ablesen, und nicht zu dieser umständlichen Rechenmethode mit
Zehnerpotenzen greifen. Das Beispiel sei hier nur zur
Verdeutlichung genannt. Nun stellt sich dem erstmaligen Anwender
des suan pan die Frage, wozu auf jedem Stab Kugeln im Wert von
insgesamt 15 Zählern angebracht sind (zwei mal fünf-wertig im
"Himmel" plus insgesamt fünf einfache Zähler in der "Erde", also
unterhalb der Leiste), wenn man doch pro Spalte lediglich
Ziffern von eins bis neun darstellen muß (siehe soroban), also
neun Zähler pro Spalte ausreichend wären. Die Zahl zehn ließe
sich also auf mehrere Arten darstellen:
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1 x 10 = 10
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2 x 5 = 10
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1 x 5 + 5 x 1 = 10
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Dieselbe Frage stellt sich auch für die Zahl fünf, die ja in
jeder Spalte, sowohl im "Himmel" (doppelt), als auch in der
"Erde" vorhanden und damit auch überbesetzt ist. Diese
"Überbesetzung" der Spalten scheint auf den ersten Blick
unnötig, wird sich aber beim späteren Rechnen als sehr praktisch
erweisen, da so kurzfristig Überträge gewissermaßen
"zwischengespeichert" werden können, was dem Anwender sicher
Erleichterung bietet. (Der Benutzer des soroban hat diese
Möglichkeit nicht, er muß alle Überträge im Kopf behalten). Der
Nachteil ist, daß die größere Kugelzahl zu einer vergrößerten
Anzahl von Verschiebeoperationen führt, was sich beim
professionellen Anwender in einer (wenn auch minimalen)
Verlängerung der Rechenzeit auswirkt.
2.2 Die Darstellung von Dezimalbrüchen
Dezimalbrüche sind auf dem Abakus "anwenderabhängig", d.h. daß
nur der momentane Benutzer weiß, wo sich das Komma befindet, da
der Abakus kein Komma darstellen kann. Der Anwender muß also bei
Rechenoperationen ständig im Kopf behalten, wo er das Komma
gesetzt hat. Bei Addition oder Subtraktion stellt das
normalerweise kein Problem dar, da sich die Kommastelle hier
nicht verschiebt. Schwierig wird es bei der Multiplikation von
Dezimalbrüchen oder bei der Division, wenn als Quotient ein
Dezimalbruch entsteht.
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3.072 ?
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3,072 ?
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0,03072 ?
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3. Rechnen mit dem Abakus
Die Rechenmöglichkeiten auf dem Abakus sind vielfältiger, als
man es auf den ersten Blick von einem so einfachen Gerät
erwarten würde. Sie reichen von einfacher Addition und
Subtraktion über Multiplikation und Division bis zum Ziehen von
Quadrat- und Kubikwurzeln. Für jede Rechenoperation gibt es
mehrere Wege, diese auf dem Abakus durchzuführen
.
Diese unterscheiden sich jedoch hauptsächlich durch den
Abstraktionsgrad und den Zeitaufwand. Zeitaufwand heißt auf dem
Abakus: Entfernung zwischen den Spalten (Weg, den der Finger
zurücklegen muß) und Zahl der Verschiebeoperationen. Diese Jagd
nach Sekundenbruchteilen scheint überflüssig, erfahrenere
Anwender legen aber sehr viel Wert auf schnelle und effiziente
Methoden. Eine eingesparte Bewegung muß statt dessen im Kopf
durchgeführt oder sich gemerkt werden. Da schnellere Methoden
die Operation lediglich vom Abakus in den Kopf des Benutzers
verlagern, sind sie meistens anspruchsvoller und verlangen mehr
Erfahrung und Konzentration vom jeweiligen Anwender.
3.1 Die Addition
Die Addition ist die einfachste Rechenoperation auf dem Abakus.
Die Zahlen werden einfach nacheinander in den Abakus eingegeben,
das Ergebnis kann direkt abgelesen werden.
Um zum Beispiel die Zahlen 7 und 5 zu addieren, sind folgende
Schritte notwendig:
Zuerst wird die Zahl sieben in den Abakus eingegeben. Die sieben
wird auf dem A. als 5 + 2 dargestellt.
Es müssen also eine der fünf-wertigen Kugeln und zwei der
ein-wertigen Kugeln in der Einerspalte zur Mittelstrebe hin
verschoben werden. Um nun die Zahl 5 zu addieren, muß nun noch
eine fünf-wertige Kugel zur Mittelstrebe hin verschoben werden.
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7
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+ 5
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Nun ergibt sich ein Übertrag, erkennbar daran, daß sich zwei
fünf-wertige Kugeln an der Mittelstrebe befinden. Diese zwei
Kugeln können durch eine in der Spalte links daneben ersetzt
werden, ohne daß sich etwas am Ergebnis ändert, da beide Male
die Zahl zehn dargestellt wird. Die zwei Kugeln werden also
wieder nach oben verschoben, für sie wird eine ein-wertige in
der Zehnerspalte an die Mittelstrebe bewegt. Das Ergebnis (12)
läßt sich nun direkt vom Abakus ablesen.
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und Übertrag
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= 12
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Nach diesem Muster funktioniert jede Addition. In besonderen
Fällen benötigt man jedoch eine Hilfskonstruktion, die anhand
des folgenden Beispiels erläutert werden soll.
Gesucht sei die Lösung der Aufgabe 19 + 28 = ?. Zuerst wird
wieder die 19 in den Abakus eingegeben, d.h. eine ein-wertige
Kugel in der Zehnerspalte, eine fünf-wertige und vier
ein-wertige in der Einerspalte werden zum Mittelbalken bewegt.
Will man jetzt dazu die 28 addieren, fängt man (wie übrigens
immer,) rechts an. Da man in der Einerspalte jetzt aber keine 8
mehr dazuaddieren kann, weil die Kugeln schon für die 9 der 19
gebraucht werden, wird zur obengenannten Hilfskonstruktion
gegriffen. Da "8 = 10 - 2" kann man statt 8 zu 19 zu addieren
genausogut 10 dazuaddieren, vorausgesetzt man zieht hinterher
wieder 2 ab. Genau das wird hier getan.
Um die 2 von der jetzt entstandenen 29 wieder abzuziehen, werden
zwei ein-wertige Kugeln in der Einerspalte wieder vom
Mittelbalken nach unten geschoben. Dadurch ist nun die 8 der 28
zur 19 addiert worden. Jetzt muß nur noch die 20 zur
inzwischen entstandenen 27 addiert werden. Das geschieht durch
das Verschieben zweier ein-wertiger Kugeln in der Zehnerspalte
hin zum Mittelbalken.
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+ 20
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= 47
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Als Ergebnis der Rechnung 19 + 28 kann man nun die 47 ablesen.
Die Addition von Dezimalbrüchen läuft genau wie oben ab. Zum
Beispiel die Rechnung 208,37 + 94,752 : Zuerst wird wieder die
erste Zahl in den Abakus eingegeben. Da der zweite Summand eine
Nachkommastelle mehr hat als der erste, muß aber als erste Zahl
208,370 eingegeben werden. Dabei ist die Stelle, an der sich das
Komma befindet, im Kopf zu behalten. Nun wird der zweite Summand
von rechts nach links dazuaddiert.
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208(,)370
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+ 0,052
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und Übertrag
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Bei der Addition der 0,7 tritt wieder das obengenannte Problem
auf, man greift also darauf zurück, daß 7 = 10 - 3. Ebenso bei
der Addition der 4. Hier gilt: 4 = 5 - 1, also 5 dazuaddieren, 1
wieder abziehen.
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+ 1 - 0,3 (= + 0,7)
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+ 5 - 1 (= + 4)
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Übertrag
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+ 90
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Übertrag
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= 303(,)122
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Als Summe entsteht, nachdem das Komma wieder eingefügt wurde,
korrekt 303,122.
Existieren mehrere Summanden, werden diese in Wiederholung der
oben genannten Methode einfach nacheinander aufaddiert.
3.2 Die Subtraktion
Die Subtraktion stellt für jemanden, der die Addition auf dem A.
beherrscht, kein Problem dar. Die Vorgehensweise wird nur
umgekehrt. Aus Platzgründen soll hier nur auf einfache
Subtraktionsprobleme eingegangen werden, bei denen der Minuend
größer als der Subtrahend ist, also keine negativen Ergebnisse
entstehen können.
Als erstes Beispiel sei 26 von 43 abzuziehen. Dazu wird zuerst
die 43 in den A. eingegeben. Um die sechs von der drei
abzuziehen (es wird wieder von rechts angefangen), muß man
wieder zu einer Hilfskonstuktion greifen. Da 6 = 10 - 4 ist die
Subtraktion von 6 dasselbe wie die Subtraktion von 10 mit einer
darauffolgenden Addition von 4. Die vier läßt sich in diesem
Fall aber auch nicht einfach addieren, da in der Einerspalte
keine vier Kugeln zum Addieren übrig sind. Dieses Problem läßt
sich wie die oben angeführten durch die Addition von 5 und der
Subtraktion einer 1 lösen.
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43
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- 10
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+ 4 (= + 5 - 1)
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- 20
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= 17
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Mit Hilfe dieses Umwegs und einer darauffolgenden Subtraktion
der übrigen 20 (zwei Kugeln in der Zehnerspalte vom Mittelbalken
nach unten bewegen) kommt man auf 17, das korrekte Ergebnis.
Im zweiten Beispiel soll 5 von 11.000 abgezogen werden. Hierbei
besteht das Problem im Nichtvorhandensein einer Zahl in der
Einerspalte, von der die 5 subtrahiert werden kann. Hier hilft
aber der suan pan mit seiner "Überbesetzung" der Spalten. Die
Eins in der Tausender-Spalte läßt sich auch durch eine Zehn in
der Hunderter-Spalte ausdrücken. Wenn man nun in der
Hunderter-Spalte eine
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11.000
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= 11.000
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= 11.000
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= 11.000
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11.000 - 5
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= 10.995
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der Kugeln abzieht, dafür aber in der Zehner-Spalte zehn Kugeln
setzt, dort nun wieder eine Kugel abzieht und dafür zehn in der
Einer-Spalte setzt, hat man, ohne etwas am Minuenden zu
verändern, gewissermaßen Kugeln in die Einer-Spalte
"transportiert". Nun stellt die Subtraktion von 5 von den dort
vorhandenen 10 kein Problem mehr dar.
Bei Dezimalbrüchen gilt: Die Kommastelle ist wieder im Kopf zu
behalten, ansonsten gibt es keine Unterschiede zur oben
ausgeführten Methode.
3.3 Die Multiplikation
Voraussetzung zur Multiplikation ist, analog zu unserer
schriftlichen Methode, das kleine Einmaleins.
3.3.1 Standardmultiplikation auf dem Abakus
Die Multiplikation beginnt damit, daß der Multiplikand ganz
links, und dann, mit einer Strebe Abstand, der Multiplikator in
den Abakus eingegeben werden. Das Produkt entsteht dann ganz
rechts. Gerechnet wird, wie bisher auch, von rechts nach links.
Als erstes Beispiel sei 73 mit 4 zu multiplizieren.
Dazu wird in der ersten Spalte eine 7, in der zweiten eine 3 und in
der vierten eine 4 gesetzt. Die dritte Spalte wird zur Trennung
freigehalten.
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73 x 4
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3 x 4 = 12
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Zuerst wird nun die 3 der 73 mit der 4 multipliziert, es
entsteht die 12, die ganz rechts eingetragen wird.
Nun wird die 7 der 73 mit der 4 multipliziert, es entstehen 28:
Diese werden eine Spalte weiter links beginnend eingetragen, da
man sich ja auch beim Multiplikand um eine Stelle nach links
bewegt hat.
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7 x 4 = 28
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Ergebnis 292
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Sie werden zur dort bereits vorhandenen 1 der 12 addiert, in den
beiden vorletzten Spalten entstehen also 29. Damit lautet das
Gesamtergebnis mathematisch korrekt 292.
Als schwierigeres Beispiel sei nun die Aufgabe gestellt, 185 mit
96 zu multiplizieren. Die Vorgehensweise bleibt identisch zu
obengenanntem Beispiel: Zuerst wird die 185 ganz links, dann die
96 mit einer Spalte Trennung eingegeben.
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185 x 96 = ?
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5 x 6 = 30
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Nun wird die 5 der 185 mit der 6 der 96 multipliziert, ergibt
30, die ganz rechts eingegeben wird. Im Folgenden wird ebenso
verfahren: Die 8 wird mit der 6 multipliziert, die entstehende
48 wird eine Spalte weiter links addiert. Aus Kugelmangel muß
hier wieder 50 addiert und 2 abgezogen werden. Gleichermaßen
wird die 1 mit der 6 multipliziert, die entstehenden 6 werden
zur bereits vorhandenen 5 der vorher entstandenen 48 (50 - 2)
addiert. Die so ablesbaren 1.110 sind das Ergebnis der
Multiplikation 185 x 6.
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+ 8 x 6 = + 48 = + 50 - 2
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+ 1 x 6
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Übertrag
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185 x 6 = 1.110
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Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird jetzt die bereits
behandelte 6 der 96 wieder entfernt, dadurch gewinnt man Platz
für das Ergebnis und stellt sicher, daß die 6 nicht
versehentlich noch irgendwo in die Rechnung "hineinrutscht" und
zu einem falschen Resultat führt.
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6 der 96 entfernt
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5 x 9 = 45
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Mit der verbleibenden 9 der 96 wird nun ebenso verfahren wie
vorher, das Produkt wird aber eine Spalte weiter links
eingegeben. Also: 5 x 9 ergibt 45, 8 x 9 ergibt 72, 1 x 9 gibt 9.
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5er - Übertrag
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8 x 9 = 72
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1 x 9 = 9 = 10 - 1
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185 x 96 = 17.760
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Für die Addition der letzten 9 zu der 7 der 72 wird wieder 10
addiert und 1 abgezogen. Jetzt wird deutlich, warum es vorher
besser war, die 6 zu entfernen: Sie wäre sonst mit dem Produkt
"zusammengewachsen". So kann das Produkt problemlos abgelesen
werden: 17.760.
Weiterführend gilt für die Multiplikation:
Sollten große Zahlen mit mehreren abschließenden Nullen zu
multiplizieren sein (z.B. 24.000 und 5.100), so ist es aus
Platzgründen leichter, die führenden Ziffern miteinander zu
multiplizieren (im Beispiel 24 und 51) und die verbleibende
Anzahl von Nullen einfach hinten an das Ergebnis anzuhängen (24
x 51 = 1.224 plus insgesamt fünf Nullen = 122.400.000).
Auf ein eventuell vorhandenes Komma muß immer geachtet werden,
da es sich bei der Multiplikation verschieben kann ! (z.B. 2,05
x 2,1 = 4,305: Verschiebung 2. Stelle von rechts nach 3. Stelle
v.r.)
3.3.2 Fortgeschrittene Multiplikationsmethoden
In Japan läuft die Standardmethode im Unterschied zur oben
erläuterten Methode nur beim Multiplikand von rechts nach links,
beim Multiplikator aber von links nach rechts ab. Das liegt
daran, daß die Wege, die der Finger zwischen den
Verschiebeoperationen zurücklegt, bei rechts-nach-links-Methoden
geringfügig länger sind als bei links-nach-rechts-Methoden. Bei
der Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen zum Beispiel legt
der Finger bei rechts-nach-links die Distanz von 9 Spalten
zurück, bei links-nach-rechts sind es nur 7. Wie bereits im
Punkt 3 dargelegt, legt der erfahrene Anwender viel Wert auf
solche scheinbaren Kleinigkeiten. Es existiert auch eine
Methode, bei der die Multiplikation der beiden Faktoren von
links nach rechts abläuft. Diese Methode ist bei Annäherungen
eher bequem, bei großen Zahlen wird sie jedoch schnell sehr
umständlich.
Zusätzlich zur Standardmethode existieren für die Multiplikation
zahlreiche andere Methoden. Um den Abstand zwischen dem
Multiplikator und dem Produkt um eine Spalte zu verkürzen, kann
der Multiplikator um eine Spalte nach rechts versetzt werden.
Dabei wird er jedoch vom Produkt teilweise überschrieben. Diese
Methode setzt verstärkt das Sich-merken von Zwischenergebnissen
voraus.
Bei einer Multiplikation, bei der die letzte Ziffer des
Multiplikators eine eins ist, kann der Multiplikand dorthin
versetzt werden, wo vorher das Produkt entstand. Dann werden die
vorderen Ziffern des Multiplikands, dessen letzte Ziffer ja auf
jeden Fall erhalten bleibt (1 mal x = x), durch die vorderen des
Produkts überschrieben. Bei dieser Methode wird die Zahl der
Operationen um eine verringert, da die letzte, in diesem Fall
eine Multiplikation mit eins, entfällt. Es gibt auch eine
ähnliche Methode für den Fall, daß die erste Zahl des
Multiplikators eine eins ist. Für den Fall, daß der
Multiplikator etwas kleiner als die nächste Zehnerpotenz ist
(z.B. 98, 997, etc.), ist es einfacher und schneller, den
Multiplikand mit der nächsten Zehnerpotenz zu multiplizieren,
und dann die Differenz mal dem Multiplikator abzuziehen.
Diese Methoden bieten sich wirklich nur für den erfahrenen
Benutzer an, der Anfänger dürfte wohl allein mit der
Entscheidungsfindung, welche Methode in seinem Fall die
effizientere ist, den Zeitvorteil dieser Methoden wieder
zunichte machen.
3.4 Die Division
Die ursprüngliche ("alte") Methode der Division auf dem Abakus
erforderte das Beherrschen einer komplizierten Divisonstabelle,
die auswendig gelernt werden mußte. Sie erleichterte unter
anderem die Arbeit mit den alten chinesischen Gewichten, die
nicht auf dem Dezimalsystem basierten. Als der Abakus in Japan
eingeführt wurde, wurde diese Methode mit eingeführt und
übernommen, da sie das Rechnen mit der damaligen japanischen
Währung erleichterte, die zu der Zeit ebenfalls nicht nach dem
Dezimalsystem aufgebaut war. Als jedoch mit den Reformen der
Meiji-Regierung (ab 1869)
das Währungssystem auf ein dezimal-basierendes umgestellt wurde,
begann sich die Standardmethode durchzusetzen, die schon vorher von einigen
japanischen Mathematikern favorisiert und auch propagiert worden
war.
3.4.1 Die Standardmethode der Division
Die Division erfolgt auf dem Abakus analog zur Multiplikation.
Divisor und Dividend werden in dieser Reihenfolge von links mit
einer Spalte Abstand in den Abakus eingegeben. Der Quotient
entsteht ganz rechts, wobei seine Größe abgeschätzt werden muß,
da er von links nach rechts entsteht. Eventuelle Fehlschätzungen
lassen sich aber leicht durch Verschieben der bereits
entstandenen Stellen des Quotienten korrigieren. (In der Regel
dürfte eine eventuelle Verschiebung nur nach links erfolgen,
wenn nämlich zuwenig Stellen für den Quotienten vorhanden sind.
Eine Verschiebung hin zum rechten Rand hätte rein ästhetische
Gründe.)
Als erstes Beispiel sei 156 durch 13 zu dividieren. Es wird also
zuerst der Divisor (die 13) und dann der Dividend (156) in den
Abakus eingegeben. Wie bei unserer Methode der schriftlichen
Division wird nun
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156 : 13 = ?
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15 : 13 = 1,...
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der Dividend von links nach rechts angegangen. Da sich die
führende 1 nicht durch 13 teilen läßt, wird die nächste Stelle
(die 5) noch dazugenommen. Jetzt läßt sich die entstandene 15
durch 13 teilen, Ergebnis 1. Da eine dreistellige Zahl durch
eine zweistellige geteilt wird, kann, sofern ein ganzzahliges
Ergebnis entsteht, eine zweistelliger Quotient erwartet werden.
Die eins wird also in der vorletzten Spalte eingetragen, die
letzte wird für die zweite Ziffer freigehalten. Nun wird der
Quotient mit dem Divisor multipliziert, das Ergebnis wird vom
Dividend von vorne her abgezogen. 1 x 13 gibt 13, diese 13 wird
nun von der 15 der 156 abgezogen, bleibt die 2, insgesamt 26.
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15 - (1 x 13) = 15 - 10 - 5 + 2
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26 : 13 = ?
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Die 26 wird nun wieder durch 13 geteilt, das Ergebnis 2 wird in
die letzte Spalte eingetragen. Nun wird zur Kontrolle wieder die
Multiplikation durchgeführt, 2 x 13 = 26, die 26 wird vom
Dividend
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26 : 13 = 2
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26 - (2 x 13) = 0; Quotient = 12
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abgezogen, Ergebnis 0. Der Dividend ist nun komplett
verschwunden, als Ergebnis der Division steht die 12 in den
letzten beiden Spalten.
Bei dem obengenannten Beispiel mußte der Divisor für die nach
jeder Division folgenden Multiplikation nicht aufgeteilt werden,
da nur die Frage nach 1 x 13 bzw. 2 x 13 gestellt war. Wenn der
Divisor jedoch groß ist oder mit einer Zahl größer als zwei oder
drei multipliziert werden muß, muß er stückweise multipliziert
werden. Das soll an folgendem Beispiel verdeutlicht werden: 364
sei durch 28 zu teilen. Dazu werden wieder zuerst Divisor und
dann Dividend in den Abakus eingegeben. Nun werden jeweils nur
die ersten Ziffern in Betracht gezogen, also in unserem Beispiel
die 2 der 28 und die 3 der 364. Da die drei einmal durch die
zwei geteilt werden kann, ist die erste Ziffer des Quotienten
die 1. Da eine zweistellige Zahl zu erwarten ist, wird diese 1
in die zweite Spalte von rechts eingetragen.
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364 : 28 = ?
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3 : 2 = 1,...
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Diese 1 wird nun mit dem Divisor multipliziert, das Ergebnis (1
x 28 = 28) wird von den vorderen zwei Stellen des Dividenden
abgezogen, also 36 - 28. Dabei muß man, um die 8 zu
subtrahieren, zuerst 10 abziehen und dann 2 addieren.
Anschließend werden die Zehnerstellen subtrahiert, also die 2
der 28
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36 - 10 + 2 = 28
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28 - 20 = 8
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von der 3 der 36 (durch die erste Subtraktion steht hier nur
noch eine 28, von der die 20 subtrahiert wird. Es bleibt also
die 8 stehen.) Als neuer Dividend wird jetzt die 84 angezeigt.
Betrachtet man nun wieder die beiden ersten Ziffern (die 8 der
84 und die 2 der 28), so würde sich ein Faktor von 4 ergeben (8
: 2 = 4). Da es sich aber mit der 8 der 28 um eine größere Zahl
als die 4 der 84 handelt, ist es angebracht, den Faktor um 1 zu
verringern. Es wird also die 3 in die Spalte ganz rechts
eingetragen.
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8 : 2 = 4, da aber 8 : 2,... = 3,... Faktor 3
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3 x 8 = 24; 84 - 24 = 60
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Nun wird die 28 mit dem errechneten Faktor 3 multipliziert, und
das Ergebnis vom Dividenden abgezogen. Da 3 x 28 nicht unbedingt
ohne weiteres im Kopf gerechnet werden kann, wird die
Multiplikation zerlegt in 3 x 8 + 3 x 20. Dabei können die
Einzelergebnisse separat vom Dividenden subtrahiert werden. Es
gilt also: 84 - (3 x 8) - (3 x 20) = 84 - 24 - 60 = 84 - 84 = 0.
Die Divison geht folglich auf, es bleibt kein Rest, der Dividend
ist verschwunden. Das Ergebnis der Division steht in den
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3 x 20 = 60; 60 - 60 = 0
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364 : 28 = 13
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beiden Spalten ganz rechts: 13.
Als letztes Beispiel sei zur Erläuterung der Behandlung von
Kommastellen im Quotienten noch die Suche nach dem Ergebnis der
Division 43 : 4 = ? gestellt. Wie oben werden Divisor und
Dividend nacheinander eingegeben.
Bei Betrachtung der Aufgabe stellt man fest, daß wohl kein
ganzzahliges Ergebnis zu erwarten sein dürfte, sondern eines mit
Kommastellen, deren Anzahl aber schwer zu schätzen ist. Da man
also nicht weiß, wieviele Stellen der Quotient haben wird,
bleibt nichts weiter übrig, als eine Spalte als Trennung
zwischen Dividend und Quotient zu belassen und die erste Stelle
des Quotienten in die darauffolgende rechte Spalte einzutragen.
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43 : 4 = ?
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4 : 4 = 1
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Die erste Stelle des Dividenden wird wieder durch den Divisor
geteilt, Ergebnis 1. Eine Multiplikation erübrigt sich, es
genügt, die 4 von der ersten Dividendenstelle abzuziehen, als
neuer Dividend entsteht die 3. Diese 3 ist nun nicht mehr durch
4 teilbar, man geht also zur nächstniedrigeren Stelle weiter.
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4 - (4 x 1) = 0
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Dividend vom Quotienten trennen
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Diese existiert nun nicht mehr direkt sichtbar auf dem Abakus.
Rechts neben der 3 steht aber eine 0, die 3 wird also zu einer
30 (eigentlich zu einer "3,0" ,da die 3 die letzte Stelle des
Dividenden ist). Für den Quotienten ist jetzt wichtig, daß man
im Dividend eine Stelle weiter gegangen ist, ohne eine Operation
auszuführen, dementsprechend wird im Quotienten eine Stelle
übersprungen (= Null wird eingetragen). Er entspricht jetzt also
der 10. Außerdem ist man im Dividenden an das Komma geraten,
welches sich auch für den Quotienten auswirkt, er entspricht
jetzt einer 10,... . Der Dividend selber hat sich jetzt aber
nahe an den Quotienten bewegt, was man durch einfaches
Verschieben nach links korrigiert. Die so entstandenen 30 kann
man nun wieder bequem durch 4 teilen: 30 : 4 = 7,... . Diese 7
wird nun als erste Nachkommastelle der bereits vorhandenen
10,... eingetragen, es entsteht 10,7... . Nun wird die 7 mit dem
Divisor (4) multipliziert (=28), das Ergebnis wird von den 30
abgezogen. Es bleibt die zwei.
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30 : 4 = 7,...
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30 - (4 x 7 = 28) = 30 - 30 + 2 = 2
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Daß diese 2 nun nicht durch 4 geteilt werden kann, könnte nun
fälschlicherweise leicht wieder als Problem betrachtet werden.
Diese Frage stellt sich jedoch gar nicht. Man erinnere sich: Es
wurde immer eine Stelle nach der anderen durch den Divisor
geteilt, das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert und das
Produkt wurde von derselben Stelle subtrahiert, die geteilt
wurde. Nichts anderes wurde oben getan: Die 3 war nicht durch 4
teilbar, die 0 wurde eingetragen, eine Multiplikation respektive
Subtraktion hat sich erübrigt (0 x Zahl = 0), man hat sich eine
Stelle weiter bewegt, wodurch die 30 entstanden ist. Diese 30
wurde nun durch 4 geteilt und 28 wurden von ihr abgezogen,
wodurch die 2 entstand. Bewegt man sich nun eine Stelle weiter,
wie bei jedem Schritt, steht aber nicht 2 da, sondern 20 ! Diese
20 läßt sich jetzt leicht durch 4 teilen, das Ergebnis (5) wird
in den Quotienten eingetragen. Vorher sollte man die 20 aber
wieder um eins nach links verschieben, um die Trennung von
Dividend und Quotient zu gewährleisten. Nach der Multiplikation
und der Subtraktion ist der Dividend komplett verschwunden, die
Division ist abgeschlossen. Der Ordnung halber kann der
Quotient, von dem jetzt feststeht, wieviele
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Dividend eins nach links verschoben
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20 : 4 = 5
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20 - ( 4 x 5 ) = 0
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Quotient an den Rand verschoben
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43 : 4 = 10,75
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Stellen er hat, an den rechten Rand verschoben werden, wo er
normalerweise stünde. Da das Komma nach der Null stand, erhält
man als Ergebnis 10,75.
Abschließend läßt sich sagen, daß die Division mit
Kommastellen keine wirklichen Schwierigkeiten bereitet, wenn man die
Kommastelle im Auge behält und Schritt für Schritt vorgeht.
3.4.2 Fortgeschrittene Divisionsmethoden
Analog zur Multiplikation gibt es auch für die Division eine
schnellere Methode, wenn der Divisor mit einer 1 beginnt. Dabei
wird der Dividend ganz rechts eingetragen und im Laufe der
Rechnung vom Quotienten überschrieben. Diese Methode bietet aber
nur einen wirklichen Vorteil, wenn die zweite Stelle des
Divisors Null oder nicht sehr viel größer als Null ist. Ist die
zweite Ziffer eine große Zahl (9,8,...) wird diese Methode
schnell unangenehm. Ist der Divisor etwas kleiner als die
nächsthöhere Zehnerpotenz (97, 998, etc.), gibt es noch eine
recht schnelle Divisionsmethode, die mit der Division der
Komplementärzahl (bezogen auf die nächsthöhere Zehnerpotenz)
arbeitet. Beide Methoden sind aber eben nur in obengenannten
Sonderfällen anwendbar, ansonsten ist die Standardmethode
schneller.
3.5 Die Quadratwurzel
Die Methode zum Finden der Quadratwurzel einer Zahl x basiert
auf dem Zerlegen von x in zwei Komponeneten a und b, wobei x =
(a + b)²
= a² + 2ab + b².
3.5.1 Ziehen der Quadratwurzel
Die algebraische Darstellung der Methode zum Finden der Wurzel
einer Zahl ist schwer theoretisch darzulegen, ohne ein Beispiel
zu benutzen. Die Methode soll deshalb im folgenden durch
Beispiele erklärt werden, was sowohl einfacher ist als auch dem
Verständnis dienen dürfte. Die genaue algebraische Erklärung
folgt direkt im Anschluß auf das erste Beispiel. Als erstes sei
die Wurzel der Zahl 576 zu finden. Diese wird zuerst ganz rechts
in den Abakus eingegeben. Daraufhin wird sie (nur im Kopf) vom
Komma aus in Zweierpaare zerlegt. (Diese Zerteilung findet vom
Komma aus in beiden Richtungen statt, die Zahl 8.935.568,6435
wird also in 8'93'55'68,64'35 zerlegt, wobei die 8 am Anfang als
"08" zu betrachten ist.) Nun wird die zum von links her ersten
Zweierpaar nächstkleinere Quadratzahl gesucht. In unserem
Beispiel wurde die 576 in 5'76 zerlegt, die zur 5 nächstkleinere
Quadratzahl ist die 4 mit 2². Die 2 wird mit einigem Abstand
weiter links in den Abakus eingegeben.
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Wurzel von 576 = ?
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Wurzel von 5 = 2,...
|
Diese 2 wird nun quadriert, und das Quadrat von der 5 abgezogen,
es bleibt also noch eine 1 in der ersten Stelle des Arguments
unter der Wurzel, insgesamt 176. Nun wird dieselbe Zahl
verdoppelt, das Ergebnis wird mit einer Spalte Abstand links
neben der zwei eingetragen, dort steht jetzt also die 4.
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5 - 2² = 1
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2 x 2 = 4
|
Nun wird die von links erste Ziffer des Arguments (1) durch die
4 geteilt. Da das in diesem Fall nicht möglich ist, wird die
zweite Ziffer zu Hilfe gezogen (=> 17). 17 : 4 ergibt 4,... ,
dieses Ergebnis wird nun rechts neben die vorher erhaltene zwei
eingetragen. Nun wird diese 4 mit der ersten 4 multipliziert,
und das Ergebnis von den 17 abgezogen (17 - (4 x 4 =16) = 1).
Man erhält also als Rest 1, insgesamt steht nun nur noch die 16
als Argument unter der Wurzel. Als letztes muß noch die 4
quadriert werden und vom Rest abgezogen werden. Da 4² = 16 und
16 -16 = 0, steht nun nur noch die 4 und daneben die 24 im
Abakus. Diese 24 ist das Ergebnis der gesamten Rechnung. Die 4,
die nur als Zwischenergebnis diente, kann der Übersichtlichkeit
halber entfernt werden. Zu beachten ist, daß das Ergebnis nun
mitten im Abakus entstanden ist, was aber nichts aussagt, da man
das Argument zu Anfang genausogut ganz links eintragen könnte.
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17 : 4 = 4,...
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17 - (4 x 4 ) = 1
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16 - 4² = 0
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Zwischenergebnis entfernt, Wurzel von 576 = 24
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Zur weiteren Erläuterung soll jetzt noch dasselbe Vorgehen "auf
Papier" dargestellt werden:
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Wurzel von 576 = ?
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Wurzel von (a+b)² = ?
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Wurzel von 400 = 20
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Wurzel von a² = a
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576 - 400 = 176
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(a² + 2ab + b²) - a² = 2ab + b²
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2 x 20 = 40
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2 x a = 2a
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176 : 40 = 4,4
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(2ab + b²) : 2a = b + b²/2a =
|
|
= ungefähr b, da a >> b
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40 x 4 = 160
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2a x b = 2ab
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176 - 160 = 16
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(2ab + b²) - 2ab = b²
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16 - 4² = 0
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b² - b² = 0
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daraus folgt:
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a = 20, b= 4; a + b = 24
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da Wurzel von (a+b)² = (a+b) ergibt sich Wurzel von 576 = 20 + 4 = 24.
|
Bei der Methode mit dem Abakus hat man es mit wesentlich
"handlicheren" Zahlen zu tun, was die Rechnung sowohl
vereinfacht als auch beschleunigt.
Als zweites Beispiel soll die Wurzel der Zahl 8.464 gesucht
sein. Zuerst wird sie wieder ganz rechts in den Abakus
eingegeben. Daraufhin wird sie in Zweierpaare unterteilt, also
wird sie zu 84'64. Nun wird die nächstkleinere Quadratzahl zu 84
(des ersten Zweierpaars) gesucht, in diesem Fall die 9, deren
Quadrat 81 ist. (a² ist also 8100; a 90).
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Wurzel von 8464 = ?
|
Wurzel von 84 = 9,...
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Das Quadrat von 9 wird nun von 84 abgezogen, es bleibt die 3.
Die 9 wird verdoppelt (2a), Ergebnis 18, diese 18 wird, etwas
weiter links von der 9 und durch eine Leerspalte von ihr
abgetrennt, eingetragen.
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84 - 9²(=81) = 3
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2 x 9 = 18
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Die nächsten beiden Ziffern des Arguments (36) werden nun durch
die 18 geteilt; in diesem Fall geht die Rechnung auf (36 : 18
=2), als zweite Ziffer des Gesamtergebnisses erhält man die 2
(=b). Zieht man die 2 x 18 von den 36 ab, so bleibt schließlich
nur noch die 4 im Argument stehen.
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36 : 18 = 2
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36 - ( 2 x 18 ) = 0
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Von ihr wird nun noch 2² (=b²) abgezogen. Da 4 - 4 = 0, ist das
Argument wieder komplett verschwunden, als Ergebnis steht die 92
im Abakus.
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4 - 2² = 0
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Zwischenergebnis entfernt, Wurzel von 8464 = 92
|
Die obengenannte Methode ist am leichtesten anhand der Algebra
zu erklären, die zwei anderen (in 3.5.2 angesprochen) werden
jedoch häufiger benutzt.
Da ab ca. fünf Stellen aufwärts die Zahlen (a,b und
Zwischenergebnis) groß und unübersichtlich werden und anders
aufgeteilt werden müßten, wird eine andere algebraische Formel
benutzt, nämlich
(a + b + c)² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²
, wodurch man auch dem zu erwartenden (mindestens) dreistelligen
Ergebnis besser gerecht wird.
3.5.2 Andere Methoden zum Ziehen der Wurzel
Das Ziehen von Kubikwurzeln ist mit dem Abakus auch möglich,
dürfte aber sowohl vom Durchschnittsbenutzer mangels Gelegenheit
so gut wie nie benutzt werden als auch hier jeden Rahmen
sprengen. Es sollen nur außer der obengenannten (ersten) noch
zwei andere Methoden kurz angesprochen werden. Die zweite
Alternative spart dem Benutzer etwas Zeit, da das
Zwischenergebnis (2a) nicht wie oben in eine besondere Spalte
eingetragen, sondern direkt über das erste Ergebnis (a)
geschrieben und später wieder durch zwei geteilt wird, wodurch
man wieder a erhält. Diese Methode wird anscheinend von "einigen
maßgebenden Experten"
als die beste angesehen. Bei der
dritten Methode wird der Ausdruck 2ab + b² durch zwei geteilt,
wodurch ab + b²/2 entsteht. Anschließend wird ab abgezogen, es
entsteht b²/2, wovon später b²/2 wieder subtrahiert wird,
wodurch das Argument komplett verschwindet. Diese Methode dürfte
die weitestverbreitete sein.
Schlußfolgerung
Der Abakus wird u.a. in Japan noch hergestellt und viel
verwendet. Besonders in Schulen hilft er Kindern, ein
grundsätzliches Verständnis für die Mathematik zu erlangen, wie
Leo Richards vom Soroban Institut an der University of Southern
California betonte.
Eine interessante Studie erschien am 13.
Februar 1987 in der Stars and Stripes, derzufolge japanische
Grund- und Hochschüler im Fach Mathematik besser abschnitten als
Gleichaltrige in den Vereinigten Staaten. Eine Ausnahme gäbe es
allerdings: Kinder von Militärangehörigen, die in Übersee
unterrichtet würden, schnitten in mathematischen Tests besser ab
als ihre Kameraden in den USA. Laut Richard Osner, Leiter der
Schulen für Japan, trage der Abakus zu diesem Ergebnis bei.
Zusammenfassend läßt sich sagen, daß das Rechnen mit dem Abakus
nicht so sehr aus rechnen, sondern eher aus Aufgliederung eines
Problems in mehrere kleinere und leichter lösbare Probleme
besteht, wie man z. B. an den Hilfskonstruktionen bei Addition
und Subtraktion oder an der Quadratwurzel sehen kann. Diese
Zerlegung eines Problems und die kleinen Umwege, die zur Lösung
einer Aufgabe führen, machen erst aus einem einfachen
Holzinstrument das vielseitige Werkzeug, das es ist. Seine
Stärke liegt in seiner Unabhängigkeit von elektrischer Energie
und dadurch, daß er weder mehr Tinte noch frisches Papier
benötigt, hat er auch unserer schriftlichen Rechenmethode
gegenüber einen Vorteil. Seine Herstellung ist nicht teuer, und
da lediglich "nachwachsende Rohstoffe" (sprich Holz) bei der
Produktion benutzt werden, ist er auch umweltverträglicher als
Plastiktaschenrechner.
Zugegebenermaßen können keine höheren
Funktionen (sin, cos, e hoch x etc.) auf ihm berechnet werden, für den
Alltagsgebrauch dürften seine Grundfunktionen aber gut
ausreichen. Er findet in unserer heutigen hochtechnisierten Welt
vielleicht gerade durch seine Unkompliziertheit und
Anspruchslosigkeit seine Existenzberechtigung.
Anmerkungen:
- (K1) Daß der Abakus von einem festen Zahlensystem abhängig ist,
ist nur mit Einschränkungen korrekt. Im "Himmel" des suan pan
kann man das Dualsystem zum Beispiel sehr gut darstellen
.
Der Abakus eignet sich aber auch zur Konvertierung von Währungen
(die nicht zwangsläufig auf dem Dezimalsystem aufbauen
[altes englisches System mit Pfund, Schilling, Pence]) oder aber für
Zeitberechnungen mit Stunden, Minuten und Sekunden.
- (K2) Da für die Addition nur ein Lösungsweg praktikabel scheint,
dürfte es hier auch nur eine Methode geben. Unterschiede zwischen
mehreren eventuell existierenden Methoden dürften minimal sein.
Dasselbe gilt für die Subtraktion, sofern Ergebnisse >= 0
entstehen. (Diese Annahme des Autors begründet sich
lediglich in der Tatsache, daß über andere Additions- oder
Subtraktionsmethoden keinerlei Material gefunden werden konnte.)
- (K3) Es lassen sich auch negative Ergebnisse von Subtraktionen
auf dem Abakus darstellen, und zwar durch ihr jeweiliges 10er-Komplement. Der
japanische soroban ist für diese Operation jedoch etwas
besser geeignet als der chinesische suan pan.
- (K4) Bei dem Beispiel handelt es sich um einen kleinen Teil
einer Aufgabe wie sie bei einer Prüfung zum Operator
achten Grades (niedrigste Stufe) verwendet worden sein könnte.
Die komplette Prüfung umfaßt 10 gemischte Additionen
und Subtraktionen von jeweils zehn zweistelligen Zahlen. Darauf
folgen 20 Multiplikationen einer zwei- oder dreistelligen
Zahl mit einer einzelnen Ziffer (70% Genauigkeit,10 Minuten Zeitvorgabe).
Als letztes müssen in derselben Zeit 20 zwei- bis vierstellige
Zahlen jeweils durch eine Ziffer geteilt werden. Für den Operator
ersten Grades (höchste Stufe) müssen zuerst 10 gemischte
Additionen und Subtraktionen, bei denen jeweils ein neun- bis
elfstelliges positives oder negatives Ergebnis entsteht, innerhalb von
zehn Minuten durchgeführt werden. Es folgen 20 Multiplikationen und
20 Divisionen, bei denen wiederum bis zu elfstellige Ergebnisse
entstehen, aber auch sehr kleine Dezimalbrüche (wieder zehn
Minuten Zeitvorgabe). Als letztes müssen dann 10 gemischte
Additionen und Subtraktionen von jeweils 10 Zahlen innerhalb
von 2 Minuten durchgeführt werden, bei denen bis zu
fünfstellige Ergebnisse entstehen. Die letzte Aufgabe
muß ohne den Abakus, also im Kopf gerechnet werden !
- (K5) Die angeführten Zitate stammen von einem Abakus-Hersteller
in Japan, Tomoe Co.,Ltd. Sie sind mit Vorbehalt zu behandeln, da sie
erstens aus zweiter Hand stammen und zweitens der Hersteller ein gesundes
Interesse haben dürfte, seine Produkte zu verkaufen und diese Zitate
zu Werbezwecken benutzte. Der Autor geht jedoch davon aus, daß der
Hersteller seinerseits ordnungsgemäß zitiert hat.
- (1) nach: WIE GEHT DAS, Heft 1.1979. Seite 2. (Abakus)
- (2) Ifrah, Georges: Die Zahlen. 1992. Seiten 89f.
- (3) Dilson, Jesse: The Abacus. 1968. Seite 38
- (4) Ifrah, Georges, a.a.O., Seiten 92 ff.
- (5) Kojima, Takashi: Advanced Abacus. 1963. Seite 18
- (6) Ifrah, Georges, a.a.O., Seiten 228 ff.
- (7) Zentner, Christian: Der große Bildatlas zur Weltgeschichte. 1982. Seite 558
- (8) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 19 ff.
- (9) Ifrah, Georges, a.a.O., Seiten 97 ff.
- (10) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 43 ff.
- (11) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 80 ff. (Kapitel V, More about decimals)
- (12) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 42 ff. und 89 ff.
- (13) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 112 ff.
- (14) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 120 ff.
- (15) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 34 ff. (Kap. III, Other Methods of Multiplication)
- (16) Zentner, Christian, a.a.O., Seite 330.
- (17) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 64 f.
- (18) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 131 ff.
- (19) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 64 ff. (Kap. IV, Other Methods of Division)
- (20) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 108 ff. (Kap. VII, Extracting Square Roots)
- (21) Kojima, Takashi, a.a.O., Seite 108
- (22) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 108 ff.
- (23) aus: Daily Yomiuri, 20. August 1996,"Ancient Abacus plays
new role in digital age", gefunden in: Fa. Tomoe Co. Ltd.: How
to use Soroban (Abacus) / Topics & other useful information
about Soroban (Abacus).
[Bei der Daily Yomiuri scheint es sich
um eine japanische Tageszeitung zu handeln, das Zitat selber ist vom Autor
auf englisch aufgefunden und ins Deutsche übertragen worden. Wenn man
davon ausgeht, daß Herr Richards (an einer amerikanischen Universität)
auf englisch interviewt wurde, würde das Zitat erst ins Japanische
übertragen worden sein, so veröffentlicht wiederum ins
Englische übersetzt und gefunden und schließlich ins Deutsche
übersetzt worden sein. Der Autor hofft jedoch, daß der Sinn
trotzdem erhalten geblieben ist, kann jedoch aus hoffentlich verständlichen
Gründen keinerlei Garantie dafür übernehmen.]
- (24) aus: Stars and Stripes, 13. Februar 1987,"DoDDS count on
soroban for higher scores", gefunden in: Fa. Tomoe Co. Ltd.: How to
use Soroban (Abacus) / Topics & other useful information about
Soroban (Abacus). [Auch der folgende Abschnitt wurde auf englisch vorgefunden,
die Übersetzung ist nur rudimentär, deshalb hier der Originaltext:
Japanese elementary and high school students rank higher in mathematics
than their peers in the United States, a recent study found. One group of
American students, however, bridges that gap---children of military
people attending Department of Defense Dependent Scho[o]ls overseas.
DoDDS students consistently score higher than their classmates in the United
States on the math portion of the Scholastic Aptit[u]de Test and other
evaluation ex[am]s,according to DoDDS statictics. One reason for the higher
scores by DoDDS students in Japan may be the use of a teaching tool borrowed
from the Japanese---The SOROBAN or abacus, education officials said. "The
DoDDS math scores are higher than the norm for the United States and the
Soroban contributes to this fact,"said Richard Osner, superintendent
of schools for Japan.]
- (25) Dilson, Jesse, a.a.O., Seiten 65 ff.
- (26) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 86 ff. (Kap. VI, Calculation Involving more than one Unit of Measurement)
- (27) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 24 ff. (Kap. II, Negative Answers from Subtraction)
- (28) Kojima, Takashi, a.a.O., Seiten 120 ff. (Kap. VIII, More Exercises)
Literaturverzeichnis :
- Bergmann, Werner: Innovationen im Quadrivium des 10. und 11. Jahrhunderts.
Studien zur Einführung von Astrolab und Abakus im lateinischen Mittelalter.
Stuttgart, 1985. (aus: Sudhoffs Archiv, Zeitschrift für
Wissenschaftsgeschichte, Beiheft 26)
- Dilson, Jesse: The Abacus: A pocket computer. (New York, 1968) 6. Auflage.
- Fa. Tomoe Co. Ltd.: How to use Soroban (Abacus) / Topics & other useful
information about Soroban (Abacus).
Internet:
http://www.soroban.com/
(Japan, 1996)
- Feisthammel, Patrick: Abakus - Antike Rechenhilfe.
Internet:
http://educeth.ethz.ch/informatik/Werkstatt/Abakus/Abakus.html
(Zürich, 1995)
- Fernandes, Luis: The Abacus: The Art of Calculating with Beads
Internet:
http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/
(Kalifornien, USA, 1996)
- Ifrah, Georges: Die Zahlen. Die Geschichte einer großen Erfindung.
Frankfurt/Main, New York, 1992. (frz. Original: Les Chiffres ou l'Histoire
d'une grande Invention, Paris 1985). Übersetzt von P. Wanner, gekürzte
Ausgabe.
- Kojima, Takashi: Advanced Abacus. Japanese Theory and Practice.
(Rutland, Vermont, USA & Tokio, Japan, 1963). Eighth printing, 1991.
- WIE GEHT DAS, Heft 1; Abakus. (Hamburg,1979) Seiten 2-3.
- Zentner, Christian: Der große Bildatlas zur Weltgeschichte. München, 1982.
© 18. Dezember 1996
Benjamin Wrightson
Anmerkungen zur Arbeit:
-
Feisthammel, Patrick: Abakus - Antike Rechenhilfe (Literaturverzeichnis - Nr. 4) befindet sich jetzt bei
http://www.educeth.ch/informatik/werkstatt/multiplik/abakus/.
-
Patrice Neff hat mich dankenswerterweise darauf aufmerksam gemacht, daß die Daily Yomiuri
in der Tat eine japanische Tageszeitung
ist, die allerdings sowohl auf englisch als auch auf japanisch erscheint. Daher hält er es durchaus für möglich, daß Zitat 23
(siehe Literatur)
nicht durch Übersetzungen verfälscht worden ist (außer durch meine eigene ins Deutsche).
Diese Argumentation ist vollkommen plausibel, eine definitive Aussage kann ich aber leider nicht treffen.
Zuletzt geändert am:
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23. April 2004
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